www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Vektorraum zeigen
Vektorraum zeigen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Vektorraum zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Do 16.11.2017
Autor: MichaelF.

Aufgabe
Sei f: K -> R ein injektiver Ringhomomorphismus, wobei K ein Körper ist. Zeigen sie, dass R ein K-Vektorraum ist.

Hallo, ich habe Probleme mit obiger Aufgabe.

Bis jetzt habe ich versucht, zu zeigen, dass die Vektorraumaxiome erfüllt sind:
Dass (R,+) eine abelsche Gruppe ist, müsste eigentlich klar sein, da die Abbildung f ja ein Ringhomomorphismus ist und somit R ein Ring.
Nun hänge ich aber dabei, zu zeigen dass die Bedingungen für die Skalarmultiplikation auch gelten. Hier habe ich nur gezeigt, dass f(1)=1 ist und somit 1*v=v [mm] \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R gilt .
Wie zeige ich dann noch die Assoziativität und Distributivität der Skalarmultiplikation? Oder ist mein Ansatz komplett falsch? :(

Vielen Dank schonmal im Voraus :)

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=581992

        
Bezug
Vektorraum zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:32 Fr 17.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Sei f: K -> R ein injektiver Ringhomomorphismus, wobei K
> ein Körper ist. Zeigen sie, dass R ein K-Vektorraum ist.

Hallo,

[willkommenmr].

Gibt es einen einleitenden Text zur Aufgabe?
Mir scheint, es fehlen Informationen.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Vektorraum zeigen: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 16:09 Fr 17.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Sei f: K -> R ein injektiver Ringhomomorphismus, wobei K
> ein Körper ist. Zeigen sie, dass R ein K-Vektorraum ist.
>  Hallo, ich habe Probleme mit obiger Aufgabe.
>  
> Bis jetzt habe ich versucht, zu zeigen, dass die
> Vektorraumaxiome erfüllt sind:

Hallo,

prinzipiell ist das der richtige Weg, nur leider fehlt Dir dazu noch eine Verknüpfung [mm] \*:K\times R\to [/mm] R.
Ich denke, Du hast den Aufgabentext unvollständig oder falsch wiedergegeben - oder die Chefs haben die Angabe der Verknüpfung vergessen.

Zeigen kannst Du, daß R zusammen mit der Addition +_R im Ring und der Verknüpfung
[mm] \odot:K\times R\to [/mm] R
mit [mm] k*\odot [/mm] r [mm] :=f(k)\*_Rr [/mm] f.a. [mm] k\in [/mm] K, [mm] r\in [/mm] R
einen K-Vektorraum bildet. [mm] \*_R [/mm] ist dabei die Multiplikation im Ring.


>  Dass (R,+) eine abelsche Gruppe ist, müsste eigentlich
> klar sein, da die Abbildung f ja ein Ringhomomorphismus ist
> und somit R ein Ring.

Ja, weil R ein Ring ist, brauchst Du für die Addition nichts zu zeigen.

>  Nun hänge ich aber dabei, zu zeigen dass die Bedingungen
> für die Skalarmultiplikation auch gelten.

Bisher hatten wir keine Skalarmultiplikation...

> Hier habe ich
> nur gezeigt, dass f(1)=1

Das ist nichts, was man zeigt, sondern es isteine Folge daraus, daß f ein Ringhomomorphismus ist.
Es hilft, ziemlich genau zu arbeiten: es ist [mm] f(1_K)=1_R. [/mm]

> ist und somit 1*v=v [mm]\forall[/mm] r [mm]\in[/mm]
> R gilt .

Mit "meiner" Verknüpfung funktioniert das dann wirklich:

[mm] 1_K\odot r=f(1_K)\*_Rr=1_R\*_Rr=1. [/mm]

>  Wie zeige ich dann noch die Assoziativität und
> Distributivität der Skalarmultiplikation?

Nachdem wir uns nun eine Multiplikation mit Skalaren ausgedacht haben, sollte es klappen. Ohne Verknüpfung konnte es nicht funktionieren.



> Oder ist mein
> Ansatz komplett falsch? :(

Für ein Reisgericht sollte man auch Reis zur Hand haben...

LG Angela


>  
> Vielen Dank schonmal im Voraus :)
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=581992


Bezug
                
Bezug
Vektorraum zeigen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 21:58 Fr 17.11.2017
Autor: SEcki


> Das ist nichts, was man zeigt, sondern es isteine Folge
> daraus, daß f ein Ringhomomorphismus ist.
> Es hilft, ziemlich genau zu arbeiten: es ist [mm]f(1_K)=1_R.[/mm]

Solange R nicht eine 1 enthält und man zusätzlich obiges fordert (und das fehlt hier erstmal), ist die Aussage falsch - und auch die ganze Aufgabe.

Gegenbeispiel: [mm] \IR \to \IR \times \IR,\quad x \mapsto (x,0)[/mm].

SEcki

Bezug
                        
Bezug
Vektorraum zeigen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 06:45 Sa 18.11.2017
Autor: angela.h.b.


> > Das ist nichts, was man zeigt, sondern es isteine Folge
>  > daraus, daß f ein Ringhomomorphismus ist.

>  > Es hilft, ziemlich genau zu arbeiten: es ist

> [mm]f(1_K)=1_R.[/mm]
>  
> Solange R nicht eine 1 enthält und man zusätzlich obiges
> fordert (und das fehlt hier erstmal), ist die Aussage
> falsch - und auch die ganze Aufgabe.

Klar!
Da hast Du völlig recht.

Ich bin hier natürlich davon ausgegangen, daß in MichaelFs Vorlesung mit "Ring" Ringe mit Eins gemeint sind - wird ja oftmals so gehandhabt.
Sein Lösungsversuch könnte ein Indiz sein.

LG Angela





>  
> Gegenbeispiel: [mm] \IR \to \IR \times \IR,\quad x \mapsto (x,0)[/mm].
>  
> SEcki


Bezug
                                
Bezug
Vektorraum zeigen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 21:59 Sa 18.11.2017
Autor: SEcki


> Ich bin hier natürlich davon ausgegangen, daß in
> MichaelFs Vorlesung mit "Ring" Ringe mit Eins gemeint sind
> - wird ja oftmals so gehandhabt.
> Sein Lösungsversuch könnte ein Indiz sein.

Was dann aber komisch ist, dass man dann die Injektivität fordert. Das geht ja bei der Konstruktion gar nicht ein. Viel mehr wenn man Surhjektivität fordert, dann kann man a priori auch erstmal von R als Ring ohne 1 ausgehen - und sich herleiten, dass es dort eine 1 gebene muss.

Find ich alles komisch. :-)

SEcki

Bezug
        
Bezug
Vektorraum zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Fr 17.11.2017
Autor: MichaelF.

Hallo,

vielen, vielen Dank schon einmal im Voraus für die schnelle und ausführliche Antwort. Das Überprüfen der Axiome fällt dann ja leicht :) Doch wie genau bist du auf die Definition der Skalarmultiplikation gekommen?

LG Michael

Bezug
                
Bezug
Vektorraum zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:51 Sa 18.11.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>
> vielen, vielen Dank schon einmal im Voraus für die
> schnelle und ausführliche Antwort.

Moin,

beachte SEckis Einwand: das funktioniert natürlich nur bei einem Ring mit Eins - ich gehe davon aus, daß wir über einen solchen reden.

> Das Überprüfen der
> Axiome fällt dann ja leicht :) Doch wie genau bist du auf
> die Definition der Skalarmultiplikation gekommen?

Naja, so schwer war das nicht. Es muß ja etwas mit dem Homomorphismus zu tun haben, und auch mit der Multiplikation im Ring.

Trotzdem würde mich die originale Aufgabenstellung interessieren.
Da stand dabei, daß man eine Verknüpfung definieren soll, mit der R dann zum Vektorraum wird, oder?

LG Angela

>
> LG Michael


Bezug
                        
Bezug
Vektorraum zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:44 Sa 18.11.2017
Autor: MichaelF.

Hallo,

in der originalen Aufgabenstellung war nichts weiter angegeben. Sie entspricht der, die ich in meinen ersten Post eingefügt habe. Leider waren keine weiteren Informationen gegeben.

LG Michael

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de