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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mi 09.07.2014 | | Autor: | JXner |
| Aufgabe | Gegeben sind die punkte h(0|4|3) und i(-0,5|2,5|5).
Berechne den Abstand dieser Punkte |
Ich würde gerne wissen, wie ich den abstand dieser punkte berechnen kann.
Ein rechenweg mit erklärung wäre sehr hilfreich.
Danke schon mal im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mi 09.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo JXner,
ob du jetzt im [mm] \IR, \IR^2 [/mm] oder [mm] \IR^3 [/mm] operierst ist in diesem Fall egal. Alles funktioniert analog. Überlege:
1.) Wie würdest du denn den Abstand zwischen zwei Punkten in [mm] \IR [/mm] bestimmen? Z.B. zwischen 1 und 4?
2.) Wie bestimmst du den Abstand zweier Vektoren [mm] v_1=(1|1) [/mm] und [mm] v_2=(2|3)? [/mm] Mal sie dir mal im [mm] \IR^2 [/mm] (kartesisches Koordinatensystem) auf. Tipp: Pythagoras.
3.) Wie gehst du jetzt im [mm] \IR^3 [/mm] vor?
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Antworten:
1.) $|4-1|=|3|=3$ ist Abstand.
2.) [mm] |v_2-v_1|=|(2|3)-(1|1)|=|(1|2)|. [/mm] Was ist jetzt der Betrag eines Vektors? Wie Pythagoras suggeriert ist [mm] |(1|2)|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
[/mm]
Übrigens ist auch in [mm] \IR [/mm] der Betrag |3| durch [mm] |3|=\sqrt{3^2} [/mm] definiert.
3.) Nehmen wir die Vektoren bzw. Punkte (1|2|3) und (2|3|1). Wir bilden wieder den Betrag der Differenz:
[mm] |(2|3|1)-(1|2|3)|=|(1|1|-2)|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
[/mm]
Jetzt weißt du hoffentlich, wie es geht. Deine Aufgabe funktioniert analog zu 3.).
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 09.07.2014 | | Autor: | JXner |
Danke.
Wenn ich jetzt zwei punkte habe A (3|-2|1) und B (1|3|-2) habe und die Gerade die durch die beiden Punkte A und B durchgeht lautet:
a: x=(3|-2|1)+w*(-2|4|-4)
Dann kann ich ja ausrechnen, dass die die Gerade von A nach B 6 Einheiten lang ist.
Wenn die Aufgabenstellung jetzt weiter geht und es heißt, eine Gerade g die durch den Punkt C (-1|3|4) geht halbiert diese Gerade a, wie bekomm ich den schnittpunkt der geraden g und geraden a ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mi 09.07.2014 | | Autor: | JXner |
Teile ich dann den Richtungsvektor der Geraden a durch 2 ?
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Hallo,
> Danke.
> Wenn ich jetzt zwei punkte habe A (3|-2|1) und B (1|3|-2)
> habe und die Gerade die durch die beiden Punkte A und B
> durchgeht lautet:
> a: x=(3|-2|1)+w*(-2|4|-4)
>
> Dann kann ich ja ausrechnen, dass die die Gerade von A nach
> B 6 Einheiten lang ist.
> Wenn die Aufgabenstellung jetzt weiter geht und es heißt,
> eine Gerade g die durch den Punkt C (-1|3|4) geht halbiert
> diese Gerade a, wie bekomm ich den schnittpunkt der geraden
> g und geraden a ?
Durch reine Überlegung. Der Punkt C ist total unwichtig.
Die Gerade teilt einfach nur die Strecke zwischen Punkt A und Punkt B. (Nebenbei bemerkt: EIne Gerade kann man nicht teilen - denn es gibt keinen Anfangs und keinen Endpunkt).
Aber der Ansatz mit der Teilung des Richtungsvektor ist ok.
Mache dir am besten klar:
1) Für w=0 erhältst du den Ortsvektor zum Punkt A.
2) Für w=1 erhältst du den Ortsvektor zum Punkt B.
3) Der Wert w=1/2 teilt daher offensichtlich gerade die Strecke zwischen A und B.
4) Folglich ist [mm] \vec{x}(1/2)=(3|-2|1)+\frac{1}{2}*(-2|4|-4)=... [/mm] gerade der Orstvektor zum Mittelpunkt. Bedenke: Das ist ein Vektor! Der Punkt hat eine andere Darstellung.
Beste Grüße
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