Untervektorräume des \IR³ < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 30.10.2011 | | Autor: | nee |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des [mm] \IR^3?
[/mm]
(a) [mm] \{\vektor{-1 \\ 0 \\ +1} + \vektor{r \\ 2r \\ 3r} \in \IR^3 : r \in \IR\}
[/mm]
(b) [mm] \{\vektor{-s \\ 0 \\ +s} + \vektor{r \\ 2r \\ 3r} \in \IR^3 : r,s \in \IR\}
[/mm]
(c) [mm] \{\vektor{3 \\ 6 \\ 9} + \vektor{r \\ 2r \\ 3r} \in \IR^3 : r \in \IR\}
[/mm]
(d) [mm] \{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IQ^3: x + y + z = 0\}
[/mm]
Beweisen Sie Ihre Antworten. |
Wie kann ich
(a) herausfinden, ob es sich bei den Mengen um Untervektorräume handelt?
(b) dies auch beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo nee und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
Über ein nettes "Hallo", "Tschüss" und ein freundliches Wort generell freuen wir uns immer sehr ...
Das kann nie schaden, denn es erhöht die Motivation zu antworten doch immens ...
> Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des
> [mm]\IR^3?[/mm]
>
> (a) [mm]\{\vektor{-1 \\
0 \\
+1} + \vektor{r \\
2r \\
3r} \in \IR^3 : r \in \IR\}[/mm]
>
> (b) [mm]\{\vektor{-s \\
0 \\
+s} + \vektor{r \\
2r \\
3r} \in \IR^3 : r,s \in \IR\}[/mm]
>
> (c) [mm]\{\vektor{3 \\
6 \\
9} + \vektor{r \\
2r \\
3r} \in \IR^3 : r \in \IR\}[/mm]
>
> (d) [mm]\{\vektor{x \\
y \\
z} \in \IQ^3: x + y + z = 0\}[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Antworten.
> Wie kann ich
>
> (a) herausfinden, ob es sich bei den Mengen um
> Untervektorräume handelt?
>
> (b) dies auch beweisen?
Nun, um zu zeigen, dass eine Menge ein Unterraum ist, musst du die 3 Unterraumkriterien nachweisen.
Um zu widerlegen, dass eine Menge ein Unterraum ist, genügt es, zu einem der Kriterien ein Gegenbsp. anzugeben.
Wie lauten die 3 Punkte, die man abklappern muss?
Mal zu (a):
[mm] $U_1=\left\{\vektor{-1\\0\\1}+\vektor{r\\2r\\3r}, r\in\IR\right\}$
[/mm]
Einer der Punkte ist, dass der Unterraum nicht leer sein darf, bzw. äquivalent dazu, dass der Nullvektor (aus dem "Oberraum") auch im Unterraum drin sein muss.
Ist [mm] $\vektor{0\\0\\0}\in U_1$ [/mm] ?
Wäre er es, so müsste es ein [mm] $r\in\IR$ [/mm] geben mit [mm] $\vektor{-1\\0\\1}+\vektor{r\\2r\\3r}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Überzeuge dich davon, dass das nicht sein kann.
Also [mm] $\vektor{0\\0\\0}\notin U_1$, [/mm] damit ist [mm] $U_1$ [/mm] kein UVR des [mm] $\IR^3$
[/mm]
Wir haben eines der Kriterien widerlegt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 30.10.2011 | | Autor: | nee |
Hi!
Danke für die schnelle Antwort und entschuldige meine schlechten Manieren!
> Wäre er es, so müsste es ein [mm]r\in\IR[/mm] geben mit
> [mm]\vektor{-1\\0\\1}+\vektor{r\\2r\\3r}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
>
> Überzeuge dich davon, dass das nicht sein kann.
Ich kann diese Aufgabe also ähnlich einem LGS angehen?
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Hallo nee,
> Hi!
>
> Danke für die schnelle Antwort und entschuldige meine
> schlechten Manieren!
>
> > Wäre er es, so müsste es ein [mm]r\in\IR[/mm] geben mit
> > [mm]\vektor{-1\\0\\1}+\vektor{r\\2r\\3r}=\vektor{0\\0\\0}[/mm]
> >
> > Überzeuge dich davon, dass das nicht sein kann.
>
>
> Ich kann diese Aufgabe also ähnlich einem LGS angehen?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 So 30.10.2011 | | Autor: | nee |
Ich danke euch beiden und wünsche euch noch ein schönes WE!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 So 30.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des
> [mm]\IR^3?[/mm]
>
> (a) [mm]\{\vektor{-1 \\ 0 \\ +1} + \vektor{r \\ 2r \\ 3r} \in \IR^3 : r \in \IR\}[/mm]
>
> (b) [mm]\{\vektor{-s \\ 0 \\ +s} + \vektor{r \\ 2r \\ 3r} \in \IR^3 : r,s \in \IR\}[/mm]
>
> (c) [mm]\{\vektor{3 \\ 6 \\ 9} + \vektor{r \\ 2r \\ 3r} \in \IR^3 : r \in \IR\}[/mm]
>
> (d) [mm]\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \IQ^3: x + y + z = 0\}[/mm]
>
> Beweisen Sie Ihre Antworten.
> Wie kann ich
>
> (a) herausfinden, ob es sich bei den Mengen um
> Untervektorräume handelt?
>
> (b) dies auch beweisen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Vielleicht hilft dir (in Ergänzung zur Antwort von Schachuzipus) auch die geometrische Interpretation.
Es beschreibt
(a) eine Gerade, die nicht durch den Ursprung geht
(b) eine Ebene durch den Ursprung
(c) eine Ursprungsgerade
(d) eine Ebene durch den Ursprung, die überall dort "Löcher" hat, wo mindestens eine Punktkoordinate irrational ist.
Gruß Abakus
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