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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Ungleichungen lösen
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Ungleichungen lösen: Lösen von Ungleichungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 So 17.03.2013
Autor: Kartoffelchen

Aufgabe
1.)Zeige dass gilt: |x + 1/x| >= 2
2.)Zeige, für welche x gilt: x*(2-x) > 1 + |x|


Wie löst man diese Aufgaben?

zu 1.) Hätte ich versucht, durch Beweis des Gegenteils, also nicht "größergleich" sondern "kleiner als" zu zeigen dass man zu einem Widerspruch kommt, was aber nicht passiert.

zu 2.) Hier hätte ich versucht rumzurechnen, aber das endet immer in einem Disaster..


EDIT: Fehler in der Aufgabenstellung zu Aufgabe 2!!! (2-x) ist korrekt, nicht (x-2)

        
Bezug
Ungleichungen lösen: Aufgabe 2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 So 17.03.2013
Autor: M.Rex

Hallo

>  2.)Zeige, für welche x gilt: x*(x-2) > 1 + |x|

>  Wie löst man diese Aufgaben?
>  
>  
> zu 2.) Hier hätte ich versucht rumzurechnen, aber das
> endet immer in einem Disaster..

Beachte, dass gilt:

[mm]|x|=\begin{cases} x, & \mbox{fuer } x\ge0 \\ -x, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]

Also mache eine Fallunterscheidung
Fall 1: [mm] x\ge0 [/mm]
Dann wird die Gleichung
[mm] x\cdot(x-2)>1+|x| [/mm]
zu
[mm] x\cdot(x-2)>1+x [/mm]


Fall 2: x<0
Dann wird die Gleichung
[mm] x\cdot(x-2)>1+|x| [/mm]
zu
[mm] x\cdot(x-2)>1-x [/mm]


Löse die beiden Entstehenden Ungleichungen nun wie üblich. Beachte aber die Falleinschränkungen.

Marius



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Bezug
Ungleichungen lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 So 17.03.2013
Autor: Kartoffelchen

(In der Klammer steht bei dir (x-2), es heißt aber (2-x), nur zur Korrektur.)

1. Fall
$ [mm] x\cdot(2-x)>1+x [/mm] $
$2x - [mm] x^2 [/mm] > 1 + x$
[mm] $-x^2 [/mm] + x > 1$
$x [mm] \cdot [/mm] (-x + 1) > 1$


Okay, an der Stelle möchte ich argumentieren, dass ein Produkt dann größer als 1 ist, wenn a) beide Faktoren positiv/negativ und b) nicht beide Faktoren kleiner als 1 sind.

Für (-x+1) folgt, dass der Term größer als 0 sein muss.
$ -x+1 > 0$
$x < 1$

Da nun aber 0 < x < 1 ist das Produkt aus x * (-x + 1) nicht größer als 1.
So richtig dient das ganze aber nicht als eine Berechnung des Ergebnisses. VIelleicht kann mir da nochmal jemand einen Hinweis geben?


2. Fall
$ ...$
[mm] $x\cdot(-x [/mm] + 3) > 1$


Nun, selbiges wie oben: Beide Faktoren müssen positiv sein oder beide negativ. Da x jedoch negativ ist, heißt das, dass (-x + 3) auch negativ sein muss, also
$-x + 3 < 0$
$x > 3$

Was nicht sein kann, da ja x negativ ist.

Bezug
                        
Bezug
Ungleichungen lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:32 So 17.03.2013
Autor: chrisno


> (In der Klammer steht bei dir (x-2), es heißt aber (2-x),
> nur zur Korrektur.)

ja  

> 1. Fall

sei im Folgenden  x > 0

>  [mm]x\cdot(2-x)>1+x[/mm]
>  [mm]2x - x^2 > 1 + x[/mm]
>  [mm]-x^2 + x > 1[/mm]
>  [mm]x \cdot (-x + 1) > 1[/mm]
>  
>
> Okay, an der Stelle möchte ich argumentieren, dass ein
> Produkt dann größer als 1 ist, wenn a) beide Faktoren
> positiv/negativ und b) nicht beide Faktoren kleiner als 1
> sind.

Das gelingt so nicht. 10 * 0,0001 = ....
Allerdings argumentierst Du auch anders.
Ein anderer Weg wäre:
[mm]-x^2 + x > 1[/mm]
[mm]x^2 - x < -1[/mm]
[mm]x^2 - x +1 < 0[/mm]
Das ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Frage ist, ob sie auch einen Abschnitt unterhalb der x-Achse hat. Das kannst Du prüfen, indem Du nach den Nullstellen suchst, also
[mm]x^2 - x +1 = 0[/mm] versuchst zu lösen.



>  

Da fehlt etwas Text: da x > 0 vorausgesetzt wurde .....

> Für (-x+1) folgt, dass der Term größer als 0 sein muss.
> [mm]-x+1 > 0[/mm]
>  [mm]x < 1[/mm]

und damit 0 < x < 1

>  
> Da nun aber 0 < x < 1 ist das Produkt aus x * (-x + 1)
> nicht größer als 1.

Da musst Du noch genauer zeigen, dass auch 1-x < 1
das gelingt auch.

>  So richtig dient das ganze aber nicht als eine Berechnung
> des Ergebnisses. VIelleicht kann mir da nochmal jemand
> einen Hinweis geben?

Das hängt ein wenig davon ab, wie streng mathematisch argumentiert werden soll. Im Wesentlichen ist Dein Weg in Ordnung.

>  
>
> 2. Fall

sei im Folgenden  x < 0

>  [mm]...[/mm]
>  [mm]x\cdot(-x + 3) > 1[/mm]
>  
>
> Nun, selbiges wie oben: Beide Faktoren müssen positiv sein
> oder beide negativ. Da x jedoch negativ ist, heißt das,
> dass (-x + 3) auch negativ sein muss, also
>  [mm]-x + 3 < 0[/mm]
>  [mm]x > 3[/mm]
>  
> Was nicht sein kann, da ja x negativ ist.

ja und damit gibt es kein x, dass die Ungleichung erfüllt.

Du musst auch noch den Fall x = 0 abhandeln. Das geht schnell.


Bezug
        
Bezug
Ungleichungen lösen: Aufgabe 1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:49 So 17.03.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> 1.)Zeige dass gilt: |x + 1/x| >= 2
>  
> zu 1.) Hätte ich versucht, durch Beweis des Gegenteils,
> also nicht "größergleich" sondern "kleiner als" zu zeigen
> dass man zu einem Widerspruch kommt, was aber nicht
> passiert.
>  


Auch hier mache wieder die Fallunterscheidung der Betragsfunktion.

Fall 1:
[mm] x+\frac{1}{x}\le0 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\le-\frac{1}{x} [/mm]

Das ist für alle x>0 erfüllt, die 0 ist eh außerhalb des Def-Bereiches

Für x>0 wird:
[mm] \left|x+\frac{1}{x}\right|\le2 [/mm]
zu
[mm] x+\frac{1}{x}\le2 [/mm]

Fall2: x<0:

Nun wird
[mm] \left|x+\frac{1}{x}\right|\le2 [/mm]
zu
[mm] -\left(x+\frac{1}{x}\right)\le2 [/mm]

Zeige, dass beide Aussagen nun wahr sind.

Marius



Bezug
        
Bezug
Ungleichungen lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 So 17.03.2013
Autor: fred97

Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:



$|x + 1/x| [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \gdw (x+1/x)^2 \ge [/mm] 4  [mm] \gdw x^2-2+1/x^2 \ge [/mm] 0.$

FRED

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Bezug
Ungleichungen lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 So 17.03.2013
Autor: M.Rex


> Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
>  
>
>
> [mm]|x + 1/x| \ge 2 \gdw (x+1/x)^2 \ge 4 \gdw x^2-2+1/x^2 \ge 0.[/mm]
>  
> FRED

Dann sollte man aber auch noch den folgenden Tipp geben, die binomische Formel ist nämlich hier alles andere als offensichtlich ;-)

[mm] \left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\left(\frac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}} [/mm]

Marius


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Bezug
Ungleichungen lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 So 17.03.2013
Autor: Kartoffelchen

Kurze Mitteilung meinerseits:

Erstmal vielen lieben Dank für diese unglaublich schnelle, kompetente und hilfreiche Antwort! (Die Aufgaben bearbeite ich eben nochmals und melde mich bei anstehenden Fragen noch einmal).

Zu dem Hinweis für Aufgabe 1; das Quadrieren hatte ich soweit versucht, allerdings die Binomische Formel nicht erkannt.. Der zusätzliche Hinweis ist daher sehr angenehm.
=> Welcher "Trick" lag hier dahinter, diese Formel zu erkennen? (Jetzt, wo ich es weiß, springt es fast schon ins Auge.. trotzdem, vorher war es eher unklar).

Bezug
                        
Bezug
Ungleichungen lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:55 So 17.03.2013
Autor: Marcel

Hi,

> > Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
>  >  
> >
> >
> > [mm]|x + 1/x| \ge 2 \gdw (x+1/x)^2 \ge 4 \gdw x^2-2+1/x^2 \ge 0.[/mm]
>  
> >  

> > FRED
>
> Dann sollte man aber auch noch den folgenden Tipp geben,
> die binomische Formel ist nämlich hier alles andere als
> offensichtlich ;-)
>  
> [mm]\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\left(\frac{1}{a}\right)^{2}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}[/mm]

hä? Wenn, dann doch eher so:
[mm] $$x^2-2+\frac{1}{x^2}=x^2-2*x*\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2\,.$$ [/mm]

Ich persönlich finde es aber einfacher:
[mm] $$x^2-2+\frac{1}{x^2} \ge [/mm] 0 [mm] \iff x^4 -2x^2+1 \ge [/mm] 0$$
zu schreiben. Mit der einfachen Substitution [mm] $z:=x^2$ [/mm] ist dann alles
"offensichtlich".

P.S. Ich wollte übrigens (fast) das gleiche schreiben wie Fred, nämlich dass
man für $0 [mm] \le [/mm] a,b$ benutzen kann, dass $a [mm] \le [/mm] b [mm] \iff a^2 \le b^2$ [/mm] gilt.
Zum Glück habe ich aber Freds Antwort gelesen und mir damit eine
Wiederholung des von ihm Gesagten erspart! ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Ungleichungen lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 So 17.03.2013
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
>  
>
>
> [mm]|x + 1/x| \ge 2 \gdw (x+1/x)^2 \ge 4 \gdw x^2-2+1/x^2 \ge 0.[/mm]

ich hätte das noch weiter gerechnet:
[mm] $$\iff x^4-2x^2+1 \ge [/mm] 0 [mm] \iff (x^2-1)^2 \ge 0\,.$$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Ungleichungen lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:24 Mo 18.03.2013
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> > Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
>  >  
> >
> >
> > [mm]|x + 1/x| \ge 2 \gdw (x+1/x)^2 \ge 4 \gdw x^2-2+1/x^2 \ge 0.[/mm]
>  
> ich hätte das noch weiter gerechnet:


Hallo Marcel,

ich habe auch weitergerechnet, aber Kartoffelchip sollte ja auch noch was tun...

Gruß FRED

>  [mm]\iff x^4-2x^2+1 \ge 0 \iff (x^2-1)^2 \ge 0\,.[/mm]
>  
> Gruß,
>    Marcel


Bezug
                                
Bezug
Ungleichungen lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Mo 18.03.2013
Autor: Marcel

Hi Fred,

> > Hallo Fred,
>  >  
> > > Zu 1. Ohne Fallunterscheidung:
>  >  >  
> > >
> > >
> > > [mm]|x + 1/x| \ge 2 \gdw (x+1/x)^2 \ge 4 \gdw x^2-2+1/x^2 \ge 0.[/mm]
>  
> >  

> > ich hätte das noch weiter gerechnet:
>  
>
> Hallo Marcel,
>  
> ich habe auch weitergerechnet, aber Kartoffelchip sollte ja
> auch noch was tun...

okay. Dann ist's gut, dass ich erst so spät was dazu geschrieben hatte. :-)

Nebenbei: Mit [mm] $...\,$ [/mm] wäre es mir klarer gewesen, dass da jmd. noch selbst
etwas tun sollte. ^^

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Ungleichungen lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:38 Mo 18.03.2013
Autor: fred97

Zu 2.:

$x*(2-x) > 1 + |x| [mm] \quad \gdw \quad -x^2+2x-1>|x| \quad \gdw \quad -(x-1)^2>|x|$ [/mm]

D.h.: die Ungleichung x*(2-x) > 1 + |x|  gilt für kein(!) x.

FRED

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