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Ungleichung von Tschebyscheff: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Do 16.03.2006
Autor: Phoney

Aufgabe
Eine Hotelkette hat eine Bettenkapazität von 850 Betten. Die Planung der Hotelkette hinsichtlich der längerfristigen Buchungen in der Urlaubszeit soll mit einer Abweichung von 5% und einer Wahrscheinlichkeit von 95% genau bestimmt werden. Mit welcher Auslastung kann die Kette innerhalb des O-Intervalls rechnen, wenn die Bettenkapazität erhöht werden kann?

Guten Tag.
Die Ungleichung von Tschebyscheff (wenn ich sie direkt aus meinem Buch übernehme), lautet:
P(|X-E(X)| [mm] \gec) \le \bruch{o^2}{c^2} [/mm]

Nun würde ich für dieses P(..) eben 0,95 einsetzen. das o ist gesucht.
Das c sind fünf Prozent.

Also
0,95 [mm] \le \bruch{o^2}{0,05^2} [/mm] /* [mm] {0,05^2} [/mm]

0,002375 [mm] \le o^2 [/mm] / wurzel
o=0,0487

Toll, das Ergebnis soll 9,5 sein.

Ich verstehe hier nichts...

Grüße Phoney

        
Bezug
Ungleichung von Tschebyscheff: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Do 16.03.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Phoney,

also: Bei der Tschebyschoff-Ungleichung musst Du schon genau hinschauen! Sie heißt in der einen Fassung (von mindestens 4 Fassungen!):

P(|X - E(X)| [mm] \ge [/mm] c) [mm] \le \bruch{\sigma ^{2}}{c^{2}} [/mm]

Dabei sind die Werte von X Zufallswerte, bei Dir also ganze Zahlen zwischen 0 und 850, und daher der Wert von c sicher keine Kommazahl wie 0,05 oder sowas!

Du musst diese Abweichung c im vorliegenden Fall erst mal berechnen.
Sie beträgt c = 850*0,05 = 42,5

Überdenkt man den (sicher äußerst unübersichtlich gestellten) Aufgabentext genauer, bemerkt man, dass man die Tsch.Ungl. in folg. Fassung benötigt:

P(|X-E(X)| < c) [mm] \ge [/mm] 1 - [mm] \bruch{\sigma ^{2}}{c^{2}} [/mm]

Das weitere Vorgehen ist demnach:

1 - [mm] \bruch{\sigma ^{2}}{42,5^{2}} [/mm] = 0,95

...

Am Ende erhältst Du das gewünschte [mm] \sigma [/mm] = 9,5.


Bezug
                
Bezug
Ungleichung von Tschebyscheff: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Do 16.03.2006
Autor: Phoney

Hallo Zwerglein,
eine schöne und verständliche vom Rechenweg (wobei ich diese Aufgabenstellungen so gut wie nie verstehe) Antwort.

Nur eine Frage ergibt sich noch.

> Dabei sind die Werte von X Zufallswerte, bei Dir also ganze
> Zahlen zwischen 0 und 850, und daher der Wert von c sicher
> keine Kommazahl wie 0,05 oder sowas!

>  Sie beträgt c = 850*0,05 = 42,5

> 1 - [mm]\bruch{\sigma ^{2}}{42,5^{2}}[/mm] = 0,95

Widerspricht das nicht der "Kommazahl" These oder was war damit gemeint?

Danke!!!

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung von Tschebyscheff: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Do 16.03.2006
Autor: Zwerglein

Hi, Phoney,

> Nur eine Frage ergibt sich noch.
>  
> > Dabei sind die Werte von X Zufallswerte, bei Dir also ganze
> > Zahlen zwischen 0 und 850, und daher der Wert von c sicher
> > keine Kommazahl wie 0,05 oder sowas!
>  
> >  Sie beträgt c = 850*0,05 = 42,5

>
> > 1 - [mm]\bruch{\sigma ^{2}}{42,5^{2}}[/mm] = 0,95
>  
> Widerspricht das nicht der "Kommazahl" These oder was war
> damit gemeint?

Ich hätte lieber schreiben sollen:

"c ist sicher keine Kommazahl zwischen 0 und 1":

Die Tsch.Ungl. macht nämlich nur dann Sinn, wenn der vorgegebene Wert für c GRÖSSER ist als die Standardabweichung [mm] \sigma; [/mm] aber Kommazahlen wie 42,5 oder so sind natürlich schon möglich.

mfG!
Zwerglein



Bezug
                                
Bezug
Ungleichung von Tschebyscheff: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:54 Do 16.03.2006
Autor: Phoney

Ok, ich danke dir für diesen informativen Nachtrag!

Gruß,
Phoney

Bezug
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