Ungleichung mittels Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Di 14.04.2009 | | Autor: | huibuh |
| Aufgabe | Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über n, daß für alle k; n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \bruch{n^{k+1}}{k+1}\le\summe_{m=1}^{n}m^{k}\le\bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1}
[/mm]
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Hallo erstmal, ist mein erster, nennen wirs ruhig mal beitrag,
und brauch hilfe.
ich komm da einfach nicht weiter, weil man abschätzen muss oder so und ich keine ahnung hab wie man sowas macht.
hoffe dass ihr mir hier helfen könnt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 14.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über n, daß für
> alle k; n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{n^{k+1}}{k+1}\le\summe_{m=1}^{n}m^{k}\le\bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1}[/mm]
>
> Hallo erstmal, ist mein erster, nennen wirs ruhig mal
> beitrag,
> und brauch hilfe.
> ich komm da einfach nicht weiter, weil man abschätzen muss
> oder so und ich keine ahnung hab wie man sowas macht.
> hoffe dass ihr mir hier helfen könnt
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
der linke Teil der Behauptung lautet
[mm] \bruch{n^{k+1}}{k+1}\le 1^k+2^k+3^k+...+n^k,
[/mm]
was äquivalent ist zu
[mm] n*n^k \le (1^k+2^k+3^k+...+n^k)(k+1)
[/mm]
Vielleicht beginnst du hier mal mit Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung ...
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 14.04.2009 | | Autor: | huibuh |
Danke schonmal...ich kann ja mal meine ansätze schreiben
Induktionsanfang: A(1)
[mm] 1*1^{k}=1\le1^{k} [/mm] (stimmt)
Induktionsschritt: A(n) [mm] \to [/mm] A(n+1)
Annahme [mm] n*n^{k}\le(1^{k}+2^{k}+...+n^{k})(k+1)gilt
[/mm]
dann ist z.z.
[mm] \bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1} \le\summe_{m=1}^{n+1}m^{k}
[/mm]
Herleitung:
1.)
[mm] 1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}\ge\bruch{n^{k+1}}{k+1}
[/mm]
[mm] (1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k})(k+1)\ge n*n^{k}
[/mm]
2.)
[mm] (n+1)^{k+1}\le(1^{k}+2^{k}+3^{k}+...+n^{k}+(n+1)^{k})(k+1)
[/mm]
ich dachte jetzt quasi wenn [mm] (n+1)^{k+1}\len*n^{k} [/mm] dann ist es auch kleiner [mm] 1^{k}+2^{k}+......
[/mm]
aber ich vermute dass ich irgendwie wohl falsch liege
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Di 14.04.2009 | | Autor: | Palin |
Ok du hast ja die Annahme das es für n gilt jetzt must du die Erweiterung machen das es für n+1 gilt
Du hast ja [mm] \summe_{m=1}^{n}m^k [/mm] erweitern wir also mit [mm] +(n+1)^k
[/mm]
-> [mm] (n+1)^k+\summe_{m=1}^{n}m^k=\summe_{m=1}^{n+1}m^k [/mm]
Jetzt must du auch die anderen Teile der Ungleichung um [mm] +(n+1)^k [/mm] erweitern.
Also
[mm] \bruch{n^{k+1}}{k+1}+(n+1)^k
[/mm]
und mit den anderen Teil genau so verfahren.
(Welchen ich grade leider nicht sehe)
Dann must du zeigen dass
[mm] \bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1}<=\bruch{n^{k+1}}{k+1}+(n+1)^k
[/mm]
ist.
Und dass für beide Teile der Ungleichung.
Ich hoff mal dass hilft weiter.
MFG
Palin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Mi 15.04.2009 | | Autor: | huibuh |
Mein Studienkollege hat die Lösung abgeschrieben, aber ich versteh einfach nicht wie man dahin kommen soll....
Also:
Induktionsschluss: Gilt für irgendein [mm] n\in\IN [/mm] und jedes [mm] k\in\IN
[/mm]
[mm] \bruch{n^{k+1}}{k+1}\le\summe_{m=1}^{n} m^{k}\le\bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1}
[/mm]
so liefert die Addition von [mm] (n+1)^{k}
[/mm]
[mm] \bruch{n^{k+1}}{k+1}+(n+1)^{k}\le\summe_{m=1}^{n+1} m^{k}\le\bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1}+(n+1)^{k}
[/mm]
Damit bleiben
jetzt versteh ich nicht warum
[mm] \bruch{n^{k+1}}{k+1}+(n+1)^{k}\ge \bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1} [/mm] (1)
[mm] \bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1}+(n+1)^{k}\le \bruch{(n+2)^{k+1}}{k+1} [/mm] (2)
zu zeigen....
gruß und danke für die hilfe
huibuh
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Hallo,
das ist ein nachvollziehbarer Schritt, denn:
> Damit bleiben
> jetzt versteh ich nicht warum
>
> [mm]\bruch{n^{k+1}}{k+1}+(n+1)^{k}\ge \bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1}[/mm]
> (1)
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{k+1}}{k+1}+(n+1)^{k}\le \bruch{(n+2)^{k+1}}{k+1}[/mm]
> (2)
>
> zu zeigen....
Die rechten Seiten von (1) und (2) sind ja genau die Ausdrücke deiner Behauptung, wenn du im Ind.-Schritt von n nach n+1 gehst.
Die linken Seiten von (1) und (2) sind dagegen die Aussagen, die du aufgrund deiner Ind.-Ann. schon weißt, weil du ja sicher sein kannst, dass die Aussage für ein gewisses n gültig ist.
Wenn du also z.B. in (1) jetzt noch nachweisen kannst, dass der linke Ausdruck (den du aufgrund deines Wissens über die Gültigkeit der Ungleichung für n erhältst) noch größer ist als das, was du eigentlich dort stehen haben willst, dann gilt deine Ungleichung für n+1 "noch mehr".
Um es mal mit einem dummen Beispiel zu veranschaulichen: Du willst beweisen, dass 10 > 5 ist, du weißt aber schon, dass 10>8 ist und jetzt weist du noch nach, dass 8>5 ist. Dann hast du deine Behauptung ja auch bewiesen. Ersetze hier die 10 durch den Summenterm, die 8 durch die linke Seite von (1) und die 5 durch die rechte Seite von (1). Und natürlich im zweiten Fall (2) analog dazu.
Wenn du also die beiden Ungleichungen (1) und (2) nachweisen kannst, gilt deine Ind.-Behauptung.
Ich hoffe, es wird klar - die Formulierungen sind mir ein wenig schwer gefallen...
Gruß,
Martin
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