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Hallo,
ich möchter gerne zeigen, dass
[mm] $\Bigl| \frac{1}{\sqrt{1-2 i t \sigma^2}} exp(\frac{i t \mu^2}{1-2 i t \sigma^2}) \Bigl| \le \frac{c}{t^d}$
[/mm]
gilt. und zwar für alle t>1 und beliebiges c,d >0.
Eigentlich sieht diese Ungleichung gar nicht so schwer aus - vll hab ich auch nur ein Brett vorm Kopf...
Für Denkanstöße wäre ich dankbar.
beste Grüße
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 So 23.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Thomas,
hängen c und d irgendwie mit [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] zusammen?
Sonst tauchen c und d gar nicht auf der linken Seite der Ungleichung auf...
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
nein, tun sie nicht.
löst man den Betrag auf, so erhält man :
[mm] $exp(\frac{-2 \sigma^2 \mu^2 t^2}{4 \sigma^4 t^2 +1}) \le \frac{c}{t^d} \sqrt{|1-2 i \sigma^2 t|} [/mm] $
tun wir gleiches nochmal mit : |1-2 i [mm] \sigma^2 [/mm] t| führt uns dies auf
[mm] $exp(\frac{-2 \sigma^2 \mu^2 t^2}{4 \sigma^4 t^2 +1}) \le \frac{c}{t^d} \sqrt{\sqrt{4t^2 \sigma^4 +1}}$
[/mm]
was zu
[mm] $exp(\frac{-8 \sigma^2 \mu^2 t^2}{4 \sigma^4 t^2 +1}) \le \frac{c^4}{t^{4d}} (4t^2 \sigma^4 [/mm] +1) $
äquivalent ist.
und dies wiederum zu
[mm] $exp(-\frac{8 \sigma^2 \mu^2 t^2}{t^2(4 \sigma^4 + 1/t^2}) *t^{4d-2} \le [/mm] 4 [mm] c^4 \sigma^4 [/mm] + [mm] \frac{1}{t^{2}}$
[/mm]
für $d [mm] \in [/mm] (0,1/2) $ und $t [mm] \to \infty$
[/mm]
erhalten wir
$0 [mm] \le 4c^4 \sigma^4$
[/mm]
was meint ihr dazu ?
LG Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 So 23.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]exp(\frac{-2 \sigma^2 \mu^2 t^2}{4 \sigma^4 t^2 +1}) \le \frac{c}{t^d} \sqrt{|1-2 i \sigma^2 t|}[/mm]
>
> tun wir gleiches nochmal mit : |1-2 i [mm]\sigma^2[/mm] t| führt
> uns dies auf
>
> [mm]exp(\frac{-2 \sigma^2 \mu^2 t^2}{4 \sigma^4 t^2 +1}) \le \frac{c}{t^d} \sqrt{\sqrt{4t^2 \sigma^4 +1}}[/mm]
>
> was zu
> [mm]exp(\frac{-8 \sigma^2 \mu^2 t^2}{4 \sigma^4 t^2 +1}) \le \frac{c^4}{t^{4d}} (4t^2 \sigma^4 +1)[/mm]
>
> äquivalent ist.
Bis hierhin habe ich keinen Fehler gefunden.
> und dies wiederum zu
>
> [mm]exp(-\frac{8 \sigma^2 \mu^2 t^2}{t^2(4 \sigma^4 + 1/t^2}) *t^{4d-2} \le 4 c^4 \sigma^4 + \frac{1}{t^{2}}[/mm]
Hier ist der Faktor [mm] c^4 [/mm] vor dem zweiten Summanden auf der rechten Seite verloren gegangen...
> für [mm]d \in (0,1/2)[/mm] und [mm]t \to \infty[/mm]
>
> erhalten wir
>
> [mm]0 \le 4c^4 \sigma^4[/mm]
>
> was meint ihr dazu ?
Man kann folgern: Für jedes $c>0$ und jedes [mm] $d\in (0,\frac12)$ [/mm] (und jedes [mm] $\mu\in\IR$ [/mm] und jedes [mm] $\sigma\in\IR\setminus{0}$) [/mm] existiert ein genügend großes [mm] $T_{c,d}\in\IR$ [/mm] mit [mm] $T_{c,d}\ge [/mm] 1$, so dass die Ungleichung für alle [mm] $t\ge T_{c,d}$ [/mm] gilt.
Das ist weit entfernt von der (falschen) ursprünglichen Behauptung.
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Hallo Tobias,
> > [mm]exp(\frac{-2 \sigma^2 \mu^2 t^2}{4 \sigma^4 t^2 +1}) \le \frac{c}{t^d} \sqrt{|1-2 i \sigma^2 t|}[/mm]
>
> >
> > tun wir gleiches nochmal mit : |1-2 i [mm]\sigma^2[/mm] t| führt
> > uns dies auf
> >
> > [mm]exp(\frac{-2 \sigma^2 \mu^2 t^2}{4 \sigma^4 t^2 +1}) \le \frac{c}{t^d} \sqrt{\sqrt{4t^2 \sigma^4 +1}}[/mm]
>
> >
> > was zu
> > [mm]exp(\frac{-8 \sigma^2 \mu^2 t^2}{4 \sigma^4 t^2 +1}) \le \frac{c^4}{t^{4d}} (4t^2 \sigma^4 +1)[/mm]
>
> >
> > äquivalent ist.
> Bis hierhin habe ich keinen Fehler gefunden.
>
>
> > und dies wiederum zu
> >
> > [mm]exp(-\frac{8 \sigma^2 \mu^2 t^2}{t^2(4 \sigma^4 + 1/t^2}) *t^{4d-2} \le 4 c^4 \sigma^4 + \frac{1}{t^{2}}[/mm]
>
> Hier ist der Faktor [mm]c^4[/mm] vor dem zweiten Summanden auf der
> rechten Seite verloren gegangen...
>
>
> > für [mm]d \in (0,1/2)[/mm] und [mm]t \to \infty[/mm]
> >
> > erhalten wir
> >
> > [mm]0 \le 4c^4 \sigma^4[/mm]
> >
> > was meint ihr dazu ?
> Man kann folgern: Für jedes [mm]c>0[/mm] und jedes [mm]d\in (0,\frac12)[/mm]
> (und jedes [mm]\mu\in\IR[/mm] und jedes [mm]\sigma\in\IR\setminus{0}[/mm])
> existiert ein genügend großes [mm]T_{c,d}\in\IR[/mm] mit
> [mm]T_{c,d}\ge 1[/mm], so dass die Ungleichung für alle [mm]t\ge T_{c,d}[/mm]
> gilt.
Ja natürlich, danke , habe ich total unterschlagen.
>
> Das ist weit entfernt von der (falschen) ursprünglichen
> Behauptung.
Inwiefern ? die Behauptung wurde doch nur (Äquivalenz)umformungen unterworfen - bzw. der Betrag aufgelöst -- dies löst dann auch das Problem, dass die komplexe Quadratwurzel nicht eindeutig ist.
Vielen Dank und LG
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 So 23.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Erstmal hast du Äquivalenzumformungen durchgeführt.
Aber dann hast du einen Limes gebildet, was keine Äquivalenzumformung mehr darstellt.
Wenn Ungleichungen der Form [mm] $f(t)\le [/mm] g(t)$ für alle t gelten, folgt, dass im Falle der Existenz von [mm] $\lim_{t\to\infty}f(t)$ [/mm] und [mm] $\lim_{t\to\infty}g(t)$ [/mm] auch [mm] $\lim_{t\to\infty}f(t)\le \lim_{\infty}g(t)$.
[/mm]
Umgekehrt lässt sich aus [mm] $\lim_{t\to\infty}f(t)\le\lim_{t\to\infty}g(t)$ [/mm] aber nicht [mm] $f(t)\le [/mm] g(t)$ für alle t folgern.
(Immerhin gilt lässt sich im Falle [mm] $\lim_{t\to\infty}f(t)<\lim_{t\to\infty}$ [/mm] folgern, dass ein genügend großes T existiert mit $f(t)<g(t)$ für alle [mm] $t\ge [/mm] T$.)
Dass die Ausgangs-Ungleichung für irgendwelche Konstellationen der Werte von [mm] $\mu,\sigma,c,d,t$ [/mm] gilt, ist nicht überraschend. Sie gilt z.B. auch bei festgehaltenen übrigen Werten für genügend großes $c$, wie man sofort der Ausgangsgleichung entnehmen kann.
Aber das ist eben etwas ganz anderes als die Behauptung, die Ungleichung gelte für ALLE Wertekonstellationen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 So 23.10.2016 | | Autor: | Thomas_Aut |
Ja, da hast Du absolut recht.
Danke für diesen Einwand.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 So 23.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Also einer von uns beiden muss wirklich ein Brett vorm Kopf haben... 
Die Gültigkeit der Ungleichung für alle $c>0$ ist äquivalent dazu, dass die linke Seite [mm] $\le0$ [/mm] ist, was offensichtlich nicht der Fall ist.
Demnach kann deine Vermutung nicht stimmen.
(Darüber hinaus ist mir unklar, was genau mit der Quadratwurzel aus einer beliebigen komplexen Zahl gemeint ist: Wählt man willkürlich eine der beiden Quadratwurzeln aus?)
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