www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Umkehrabbildung abgeschlossen
Umkehrabbildung abgeschlossen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Umkehrabbildung abgeschlossen: Stetigkeit, Abgeschlossen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:33 Do 01.05.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Seien $X,Y$ metrische Räume und sei $f: [mm] X\to [/mm] Y$ eine stetige Abbildung.
Beweisen Sie:

Falls [mm] B\subset [/mm] Y abgeschlossen ist, so ist [mm] f^{-1}(B) [/mm] auch abgeschlossen.

Hi,

ich würde gerne diese Aussage beweisen.
Das wäre mein Ansatz.

Ich habe eine Äquivalenz für eine stetige Funktion, die ich ausnutze:

$f$ ist stetig in [mm] $x\in X\Leftrightarrow$ [/mm] für jede Umgebung $V$ von $f(x)$ ist [mm] $f^{-1}(V)$ [/mm] eine Umgebung von $x$.

Ich hatte mit dem Beweis nun wie folgt angesetzt:

Da f stetig ist, ist [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] eine Umgebung von x.
Also gibt es ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] mit [mm] $B_{\epsilon}(X)\subset f^{-1}(B)$ [/mm]
Wenn ich nun die Funktion f anwende käme ich auf

[mm] $f(B_{\epsilon}(x))\subset [/mm] B$

Ich denke aber nicht, dass das zielführend ist.
Ich hatte auch daran gedacht es auf eine offene Menge zurückzuführen, also das Komplement zu betrachten.

Über einen Tipp würde ich mich freuen.

        
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:39 Do 01.05.2014
Autor: Teufel

Hi!

Ja, mach es mal mit offenen Mengen. Da kannst du schön die Umgebungen ins Spiel bringen.

Bezug
                
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:51 Do 01.05.2014
Autor: YuSul

Okay.

Da [mm] $B\subset [/mm] Y$ abgeschlossen ist, ist [mm] $Y\setminus [/mm] B$ offen.
Daher existiert für alle [mm] $b\in Y\setminus [/mm] B$ ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] mit [mm] $B_{\epsilon}(Y)\subset Y\setminus [/mm] B$

Na ja, ich denke nicht, dass ich hier die Definition von offen richtig angewendet habe...

Da dies für alle [mm] $b\in Y\setminus [/mm] B$ gilt gibt es eine Umgebung U mit
[mm] $B_{\epsilon}(Y)\subset [/mm] U$

Bezug
                        
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:01 Do 01.05.2014
Autor: Teufel

Hmmm ok, also ich denke dass es vielleicht am einfachsten ist, wenn du folgendes beweist: $f$ stetig [mm] \gdw [/mm] Falls [mm] $O\subseteq [/mm] Y$ offen ist, so auch [mm] f^{-1}(O). [/mm] Der Beweis sollte nicht so schwierig sein, weil du schon eine Charakterisierung von Stetigkeit durch Umgebungen hast.

Nun gilt ja, dass $O [mm] \text{ offen} \gdw Y\setminus [/mm] O [mm] \text{ abgeschlossen}$ [/mm] (habt ihr das auch so definiert?). Damit kannst du dann deine eigentliche Aussage beweisen.

Du könntest dann so anfangen: [mm] $A\subseteq [/mm] Y$ abgeschlossen [mm] \Rightarrow $Y\setminus [/mm] A$ offen [mm] \Rightarrow $f^{-1}(Y\setminus [/mm] A)$ offen [mm] \Rightarrow [/mm] ...

Bezug
                                
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:05 Do 01.05.2014
Autor: YuSul

Diese Aussage haben wir schon bewiesen. Hatte oben irgendwie das Ziel aus den Augen verloren. Ich muss ja irgendwo die Umkehrfunktion herbekommen...

Ich habe auf meinem Zettel folgendes nun erstmal stehen, und ja wir haben abgeschlossen als Komplement einer offenen Menge definiert.

Da [mm] $B\subset [/mm] Y$ abgeschlossen ist, ist [mm] $Y\setminus [/mm] B$ offen, also

[mm] $Y\setminus B\subset [/mm] Y$ und [mm] $f^{-1}(Y\setminus [/mm] B)$ offen (nach dem Satz).
Daher gibt es eine Umgebung $U$ um [mm] $f^{-1}(Y\setminus [/mm] B)$ für das es ein [mm] $b\in Y\setminus [/mm] B$ ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] gibt mit [mm] $B_{\epsilon}(B)\subset [/mm] U$

Bezug
                                        
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:31 Do 01.05.2014
Autor: Teufel

Hi!

Ah, mit [mm] \varepsilon-Umgebungen [/mm] zu arbeiten ist viel zu umständlich!

Es gilt doch [mm] $f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [/mm] offen. Also ist [mm] $f^{-1}(B)$...? [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Do 01.05.2014
Autor: YuSul

Ahhh!

Wenn [mm] $X\setminus f^{-1}(B)$ [/mm] offen ist, dann ist [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] abgeschlossen.

Aber leider verstehe ich nicht so ganz die Gleichheit

[mm] $f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [/mm]

Ich denke es läuft darauf hinaus, dass man es ein wenig auseinanderzieht im Sinne von

[mm] $f^{-1}(Y\setminus B)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(B)=X \setminus f^{-1}(B)$ [/mm]

Warum darf ich das tun?

Bezug
                                                        
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Do 01.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Warum darf ich das tun?

schreibe dir mal konkret als Menge auf, was $ [mm] f^{-1}(Y\setminus [/mm] B)$ ist und dann das gleiche für [mm] $f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(B)$. [/mm]

Was stellst du fest?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Do 01.05.2014
Autor: YuSul

Dann fällt auf, dass es keine Rolle spielt. Danke.

Ist diese Beziehung allgemein gültig?

Bezug
                                                                        
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 Do 01.05.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ist diese Beziehung allgemein gültig?

Für Urbilder ja. Da kannst du Mengenoperationen beliebig rausziehen.

Gruß,
Gono.


Bezug
                                                                                
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Do 01.05.2014
Autor: YuSul

Gut. Vielen Dank für die Hilfe dir und teufel.



Bezug
                                                                                        
Bezug
Umkehrabbildung abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Do 01.05.2014
Autor: Teufel

Ja, Urbildnehmen ist ziemlich gut mit viel Zeug verträglich. z.B. auch mit Vereinigungen nehmen, was auch mal nützlich sein könnte!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de