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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 So 01.08.2021 | | Autor: | Leon33 |
Hallo alle zusammen .
Habe gerade Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe
| Aufgabe | Bestimmen sie mithilfe der Trapezregel eine Näherung an das Integral und bestimmen sie den maximalen Quadraturfehler
[mm]\int_{0}^{1} \! \frac{2}{x+1} +2x^2 \, dx [/mm]? |
habt ihr Tipps wie ich bei euch sowas vorgehen muss?
nicht gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 So 01.08.2021 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Bestimmen sie mithilfe der Trapezregel eine Näherung an
> das Integral und bestimmen sie den maximalen
> Quadraturfehler
>
> [mm]\int_{0}^{1} \! \frac{2}{x+1} +2x^2 \, dx [/mm]?
>
> habt ihr Tipps wie ich bei euch sowas vorgehen muss
Besser und richtiger ist [mm] $\int_{0}^{1} \! (\frac{2}{x+1} +2x^2) \, [/mm] dx$
Wenn die Aufgabe genau so gemeint ist, wie sie dasteht, was ich nicht glaube, dann berechnest du einfach die Fläche einmal über ein Trapez und einmal über das Integral.
Die Trapezfläche ist [mm] $\frac{1}{2}(f(0) [/mm] + f(1)) [mm] \cdot [/mm] 1 = 2,5$.
Das Integral ergibt sich zu $2ln2 + [mm] \frac{2}{3} \approx [/mm] 2,05$.
Und damit ist auch der Fehler in diesem Fall klar.
Gemeint ist aber wohl, daß du die allgemeine Sehnentrapez-Formel hinschreiben und den Fehler mit Hilfe der 2. Ableitung abschätzen sollst.
Versuch das mal, die Formeln findest du zur Not bei Wiki. Und dann sehen wir weiter.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 01.08.2021 | | Autor: | Leon33 |
[mm]f''(x) = \frac{4}{(x+1)^3} [/mm]
[mm] - \frac{\frac{4}{(x+1)^3+4}}{12} * \frac{1}{2}.[/mm]
Habe es in der Formel mal eingesetzt .
Wie geht es weiter ?
Die Formel ist im Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:06 Mo 02.08.2021 | | Autor: | statler |
> [mm]f''(x) = \frac{4}{(x+1)^3}[/mm]
Stimmt nicht ganz: $f''(x) = [mm] \frac{4}{(x+1)^3} [/mm] + 4$
Da dein Intervall von 0 bis 1 geht, kannst du dir jetzt überlegen, wie groß $|f''(x)|$ höchstens werden kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 02.08.2021 | | Autor: | Leon33 |
[mm]f''(0) = \frac{4}{(x+1)^3} + 4 = 8[/mm]
[mm]f''(1) = \frac{4}{(2+1)^3} + 4 = 4.14 [/mm]
Soll ich aber nicht die Funktion in die Formel einsetzen ?
Muss ich nicht die Näherungsformel nutzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mo 02.08.2021 | | Autor: | statler |
>
> [mm]f''(0) = \frac{4}{(x+1)^3} + 4 = 8[/mm]
>
> [mm]f''(1) = \frac{4}{(2+1)^3} + 4 = 4.14[/mm]
>
> Soll ich aber nicht die Funktion in die Formel einsetzen ?
>
> Muss ich nicht die Näherungsformel nutzen?
Dein Fehlerterm ist doch [mm] $-\frac{f^{(2})(\xi)}{12}h^{3}$. [/mm] Dabei liegt [mm] $\xi$ [/mm] zwischen 0 und 1, und $h = 1$.
$f''$ ist im betrachteten Intervall monoton fallend, warum? Was ist also der maximal mögliche Wert des Betrags des Fehlers?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mo 02.08.2021 | | Autor: | Leon33 |
Leider ist für mich das alles nicht so selbstverständlich :)
Wieso ist das monoton fallend ?
Der maximale Wert ist wahrscheinlich 8
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Mo 02.08.2021 | | Autor: | statler |
> Leider ist für mich das alles nicht so selbstverständlich
> :)
>
> Wieso ist das monoton fallend ?
>
> Der maximale Wert ist wahrscheinlich 8
Das stimmt, er ist sogar sicher 8. Wenn x größer wird, wird der Nenner größer, also der Bruch und damit auch $f''$ kleiner.
Das heißt dann weiter, daß der richtige Wert des Integrals zwischen [mm] $\frac{5}{2} [/mm] - [mm] \frac{2}{3} [/mm] = [mm] \frac{11}{6}$ [/mm] und [mm] $\frac{5}{2} [/mm] + [mm] \frac{2}{3} [/mm] = [mm] \frac{19}{6}$ [/mm] liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mo 02.08.2021 | | Autor: | Leon33 |
das mit den 5/2 hatten wir ja berechnet
Woher kommen die 2/3 her ?
Warum wird das einmal abgezogen und einmal addiert ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 02.08.2021 | | Autor: | statler |
> das mit den 5/2 hatten wir ja berechnet
Das ist der Näherungswert, die Trapezfläche.
>
> Woher kommen die 2/3 her ?
Wenn du in deinen Fehlerterm [mm] $-\frac{f''(\xi)}{12}h^{3}$ $\xi [/mm] = 0$ und [mm] $\xi [/mm] = 1$ setzt und in beiden Fällen $h = 1$, dann erhältst du einmal [mm] $-\frac{2}{3}$ [/mm] und das andere Mal [mm] $-\frac{3}{8}$. [/mm] Also liegt der wahre Wert des Integrals sogar zwischen [mm] $\frac{5}{2} [/mm] - [mm] \frac{2}{3} [/mm] = [mm] \frac{11}{6}$ [/mm] und [mm] $\frac{5}{2} [/mm] - [mm] \frac{3}{8} [/mm] = [mm] \frac{17}{8}$. [/mm]
Das ist noch besser als wenn man nur den maximalen Fehler einmal addiert und einmal subtrahiert.
> Warum wird das einmal abgezogen und einmal addiert ?
Weil man ein Intervall für den richtigen Wert haben möchte. (Das ist sozusagen ein 100-%-Konfidenzintervall.)
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