Transformation Z-Variable < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Fr 08.05.2015 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Vorausgesetzt, die Zufallsvariable x ist binomialverteilt mit den Parametern n=3 und p=0,4.
Zusätzlich gilt: [mm] y=\frac{x \cdot (3-x)}{2} [/mm]
Ermitteln Sie P(y=1). |
Hallo zusammen!
Hierbei handelt es sich meiner Meinung nach um eine Transformation der Zufallsvariable.
Ich wäre nun wie folgt vorgegangen:
P(y=1)= [mm] P(\frac{x \cdot (3-x)}{2}=1)= P(\frac{3 \cdot x -x^2}{2}=1)
[/mm]
Löse ich nun die Gleichung [mm] \frac{3 \cdot x -x^2}{2}=1 [/mm] erhalte ich [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=2.
[/mm]
Kann ich nun schreiben: P(y=1) = [mm] P(x=x_{1})+ P(x=x_{2})
[/mm]
wobei [mm] P(x=x_{1})=\binom{3}{1} \cdot (0,4)^{1} \cdot (1-0,4)^{3-1}, ~~~~~~~P_{(x=1)}=0,432
[/mm]
und [mm] P(x=x_{2})=\binom{3}{2} \cdot (0,4)^{2} \cdot (1-0,4)^{3-2}, ~~~~~~~P_{(x=2)}=0,288
[/mm]
ist?
Somit wäre dann P(y=1)=0,432+0,288=0,72
Allerdings erscheint mir der Schritt P(y=1) = [mm] P(x=x_{1})+ P(x=x_{2}) [/mm] nicht wirklich nachvollziehbar, ich finde allerdings auch keine wirkliche Alternative!
Bin für jeden Hinweis sehr dankbar!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Fr 08.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mike1988!
> Vorausgesetzt, die Zufallsvariable x ist binomialverteilt
> mit den Parametern n=3 und p=0,4.
>
> Zusätzlich gilt: [mm]y=\frac{x \cdot (3-x)}{2}[/mm]
>
> Ermitteln Sie P(y=1).
> Hallo zusammen!
>
> Hierbei handelt es sich meiner Meinung nach um eine
> Transformation der Zufallsvariable.
>
> Ich wäre nun wie folgt vorgegangen:
>
> P(y=1)= [mm]P(\frac{x \cdot (3-x)}{2}=1)= P(\frac{3 \cdot x -x^2}{2}=1)[/mm]
>
> Löse ich nun die Gleichung [mm]\frac{3 \cdot x -x^2}{2}=1[/mm]
> erhalte ich [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=2.[/mm]
> Kann ich nun schreiben: P(y=1) = [mm]P(x=x_{1})+ P(x=x_{2})[/mm]
Ja.
> wobei [mm]P(x=x_{1})=\binom{3}{1} \cdot (0,4)^{1} \cdot (1-0,4)^{3-1}, ~~~~~~~P_{(x=1)}=0,432[/mm]
>
> und [mm]P(x=x_{2})=\binom{3}{2} \cdot (0,4)^{2} \cdot (1-0,4)^{3-2}, ~~~~~~~P_{(x=2)}=0,288[/mm]
>
> ist?
>
> Somit wäre dann P(y=1)=0,432+0,288=0,72
> Allerdings erscheint mir der Schritt P(y=1) = [mm]P(x=x_{1})+ P(x=x_{2})[/mm]
> nicht wirklich nachvollziehbar, ich finde allerdings auch
> keine wirkliche Alternative!
Analytisch ist
[mm] $y=1\quad\gdw\quad\frac{x \cdot (3-x)}{2}=1\quad\gdw\quad x=1\vee [/mm] x=2$.
Mengentheoretisch ist also
[mm] $\{y=1\}\quad\gdw\quad\{x=1\}\cup\{x=2\}$.
[/mm]
Beantworte mir nun folgende Fragen:
1) Wann heißen zwei Mengen [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $B\$ [/mm] disjunkt?
1) Sind die Mengen [mm] \{x=1\} [/mm] und [mm] \{x=2\} [/mm] disjunkt?
2) Wie habt ihr einen Wahrscheinlichkeitsraum definiert?
3) Was weißt du über [mm] $P\$?
[/mm]
Mit der Beantwortung von den letzten zwei Fragen kann man dir
auch genauer helfen.
(Allgemeine Antwort: Jedes Maß [mm] \mu [/mm] erfüllt per definitionem die
[mm] $\sigma$-Additivität, [/mm] d.h. für jede Folge [mm] $(A_n)_{n\in\IN}\$ [/mm] paarweise disjunkter
messbarer Mengen gilt
[mm] \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n).)
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Fr 08.05.2015 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Cool, dann wäre dieses Beispiel schon mal gelöst!
> Analytisch ist
>
> [mm]y=1\quad\gdw\quad\frac{x \cdot (3-x)}{2}=1\quad\gdw\quad x=1\vee x=2[/mm].
>
> Mengentheoretisch ist also
>
> [mm]\{y=1\}=1\quad\gdw\quad\{x=1\}\cup\{x=2\}[/mm].
>
>
> Beantworte mir nun folgende Fragen:
>
> 1) Wann heißen zwei Mengen [mm]A\[/mm] und [mm]B\[/mm] disjunkt?
Disjunkt bezeichnet man 2 Mengen, wenn diese kein gemeinsames Element besitzen.
> 1) Sind die Mengen [mm]\{x=1\}[/mm] und [mm]\{x=2\}[/mm] disjunkt?
Ja!
> 2) Wie habt ihr einen Wahrscheinlichkeitsraum definiert?
Als Wahrscheinlichkeitsraum haben wir die Menge aller möglichen Ereignisse eines Zufallsexperimentes definiert.
> 3) Was weißt du über [mm]P\[/mm]?
P beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
>
> Mit der Beantwortung von den letzten zwei Fragen kann man
> dir
> auch genauer helfen.
>
> (Allgemeine Antwort: Jedes Maß [mm]\mu[/mm] erfüllt per
> definitionem die,
> [mm]\sigma[/mm]-Additivität, d.h. für jede Folge [mm](A_n)_{n\in\IN}\[/mm]
> paarweise disjunkter
> messbarer Mengen gilt
>
> [mm]\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n).)[/mm]
>
>
> Gruß
> DieAcht
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Fr 08.05.2015 | | Autor: | mike1988 |
Ja, die Axiome haben wir kennengelernt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Fr 08.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Ja, die Axiome haben wir kennengelernt.
Okay, dann benötigen wir hier zur Aufklärung deiner Frage nur noch
den ![[]](/images/popup.gif) dritten Punkt. Falls ihr das nicht so ähnlich habt, dann ist
es Besten, wenn du genau eure Axiome aufschreibst. Jedenfalls ist
[mm] P(\{y=1\})=P(\{x=1\}\cup\{x=2\})\overset{\{x=1\}\cap\{x=2\}=\emptyset}{=}P(\{x=1\})+P(\{x=2\}).
[/mm]
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