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Hallo und guten Abend,
ich habe eine Frage zu einer Gleichung. Gegeben sind 3 Punkte a,b,c auf einer Geraden und für deren Teilverhältnisse soll gelten:
[mm] T(b,c;a)\*T(c,a;b)\*T(a,b;c) [/mm] = -1
Ich habe versucht, ausgehend von
[mm] \vec{ab}=t\*\vec{bc}
[/mm]
eine solche Gleichung für alle 3 Teilverhältnisse (s.o.) darzustellen.
Bei mir würde es dann heißen:
[mm] T(b,c;a)\*T(c,a;b)\*T(a,b;c)
[/mm]
= [mm] \bruch{b-a}{c-b} \* \bruch{a-b}{c-a} \* \bruch{c-a}{b-c} [/mm]
[mm] =\bruch{(a-b)^2}{(b-c)^2}, [/mm] wobei a,b,c für die Ortsvektoren der Punkte a,b,c auf der Geraden stehen.
Soll ich vielleicht ganz anders ansetzen oder wie muss ich hier fortfahren ?
Danke und viele Grüße
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Ich erhalte nicht -1, sondern 1 als Produktwert der Teilverhältnisse.
Ich verstehe dein Vorgehen nicht. Du kannst doch Vektoren nicht dividieren.
Ich vermute, daß du unter [mm]T(b,c;a)[/mm] das Teilverhältnis meinst, unter dem [mm]a[/mm] die Strecke von [mm]b[/mm] nach [mm]c[/mm] teilt. Nennen wir dieses einmal [mm]\tau_1[/mm]. Wenn also
[mm]a-b = \lambda \cdot (c-b) \, , \ \ c-a = \mu \cdot (c-b)[/mm]
gelten, dann ist
[mm]\tau_1 = \frac{\lambda}{\mu}[/mm]
Die Skalare [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] erfüllen [mm]\lambda + \mu = 1[/mm].
Jetzt zum Teilverhältnis [mm]T(c,a;b)[/mm], unter dem [mm]b[/mm] die Strecke von [mm]c[/mm] nach [mm]a[/mm] teilt. Ich nenne dieses [mm]\tau_2[/mm]. Wir müssen [mm]b-c[/mm] und [mm]a-b[/mm] als Vielfache von [mm]a-c[/mm] ausdrücken (die Reihenfolgen in den Differenzen sind hier wichtig). Aus der zweiten Gleichung oben erhält man
[mm]b-c = \frac{1}{\mu} \cdot (a-c)[/mm]
Und aus beiden Gleichungen oben folgt:
[mm]a-b = \lambda \cdot (c-b) = \lambda \cdot \frac{1}{\mu} \cdot (c-a) = - \frac{\lambda}{\mu} \cdot (a-c)[/mm]
Folglich gilt:
[mm]\tau_2 = \frac{\frac{1}{\mu}}{- \frac{\lambda}{\mu}} = - \frac{1}{\lambda}[/mm]
Und jetzt berechne das Teilverhältnis [mm]\tau_3 = T(a,b;c)[/mm], unter dem [mm]c[/mm] die Strecke von [mm]a[/mm] nach [mm]b[/mm] teilt. Du mußt also zunächst [mm]c-a[/mm] und [mm]b-c[/mm] als Vielfache von [mm]b-a[/mm] ausdrücken.
Zum Schluß kannst du dann [mm]\tau_1 \cdot \tau_2 \cdot \tau_3[/mm] berechnen. Wie gesagt, ich erhalte 1 als Produktwert. Wenn da -1 herauskommen soll, liegt es vielleicht daran, daß du das Teilverhältnis anders definiert hast. Ohne Kenntnis dieser Definition kann man allerdings nicht weiterhelfen.
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Das was Du geschrieben hast, kann ich sehr gut nachvollziehn, vielen Dank.
Definition des Teilverhältnis' ist bei uns:
Wenn man die Gleichungen (von Dir):
$ a-b = [mm] \lambda \cdot [/mm] (c-b) [mm] \, [/mm] , \ \ c-a = [mm] \mu \cdot [/mm] (c-b) $
hat,
teilt a die Strecke [mm] \overline{bc}
[/mm]
in $ [mm] \tau_1 [/mm] = - [mm] \frac{\lambda}{\mu} [/mm] $
(negatives Vorzeichen also).
Eine kleine Frage vielleicht: Warum ist denn gerade das Teilverhältnis [mm] -\bruch{\lambda}{\mu} [/mm] und nicht [mm] -\bruch{\mu}{\lambda} [/mm] ?
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Das negative Vorzeichen wundert mich etwas. Nehmen wir einmal an, [mm]a[/mm] möge zwischen [mm]b[/mm] und [mm]c[/mm] liegen, eine Einheit von [mm]b[/mm] und zwei Einheiten von [mm]c[/mm] entfernt, dann gälte
[mm]a-b = \frac{1}{3} \cdot (c-b) \, , \ \ c-a = \frac{2}{3} \cdot (c-b)[/mm]
Nach meiner Definition wäre das Teilverhältnis [mm]\tau = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} = 1:2[/mm]. In der Geometrie sagt man: [mm]A[/mm] teilt die Strecke [mm]BC[/mm] im Verhältnis 1:2. Die Reihenfolge der Punkte ist hier wichtig. Streng genommen geht es nicht um bloße Strecken, sondern um gerichtete Strecken. Wenn man dieselbe Situation mit der Strecke [mm]CB[/mm] ausdrückt, muß man sagen: [mm]A[/mm] teilt [mm]CB[/mm] im Verhältnis 2:1.
Das Teilverhältnis ist positiv, wenn der Teilungspunkt im Innern der Strecke liegt, und negativ andernfalls. So kenne ich das jedenfalls.
Warum bei euch beim Teilverhältnis noch eine Vorzeichenänderung vorgenommen wird, weiß ich nicht. Vielleicht bekommen spätere Formeln dadurch ein handlicheres oder suggestiveres Format. Mit dieser zusätzlichen Vorzeichenänderung ist das Teilverhältnis negativ, wenn der Teilungspunkt im Innern der Strecke ist, und positiv andernfalls.
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