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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 18.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl und seien $a,n [mm] \in \IN$. [/mm] Beweisen Sie: Wenn [mm] $p|a^n$ [/mm] gilt, dann folgt [mm] $p^n|a^n$. [/mm] |
Hallo Forum,
ich habe diese Aufgabe für mich selber bereits gelöst und mich dabei auf die Primfaktorzerlegung von [mm] $a^n$ [/mm] gestützt. Bei meiner gestrigen Aufgabe hat UniversellesObjekt aber eine interessante Lösung per Kontroposition gezeigt, die sich hier eventuell auch anbieten würde.
Da diese Art des Beweises doch recht neu für mich ist, bitte ich um etwa Unterstützung.
Wenn ich da Prinzip der Kontraposition richtig verstanden habe, dann gehe ich folgendermaßen vor:
Anstelle von [mm] $p|a^n \Rightarrow p^n|a^n$ [/mm] kann ich auch zeigen [mm] $p^n \nmid a^n \Rightarrow [/mm] p [mm] \nmid a^n$, [/mm] da diese beiden Implikationen logisch Äquivalent sind. Ja?
Sei [mm] $p^n$ [/mm] eine Primzahl, die als Potenz mit n die Zahl [mm] $a^n$ [/mm] nicht teilt. Dann ist auch p kein Teiler von [mm] $a^n$. [/mm]
... und wenn ich das richtig verstanden habe, dann bin ich jetzt sogar schon fertig!
Ist da so richtig?
Viele Grüße,
Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Di 18.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei p eine Primzahl und seien [mm]a,n \in \IN[/mm]. Beweisen Sie:
> Wenn [mm]p|a^n[/mm] gilt, dann folgt [mm]p^n|a^n[/mm].
> Hallo Forum,
> ich habe diese Aufgabe für mich selber bereits gelöst
> und mich dabei auf die Primfaktorzerlegung von [mm]a^n[/mm]
> gestützt. Bei meiner gestrigen Aufgabe hat
> UniversellesObjekt aber eine interessante Lösung per
> Kontroposition gezeigt, die sich hier eventuell auch
> anbieten würde.
>
> Da diese Art des Beweises doch recht neu für mich ist,
> bitte ich um etwa Unterstützung.
>
> Wenn ich da Prinzip der Kontraposition richtig verstanden
> habe, dann gehe ich folgendermaßen vor:
>
>
> Anstelle von [mm]p|a^n \Rightarrow p^n|a^n[/mm] kann ich auch zeigen
> [mm]p^n \nmid a^n \Rightarrow p \nmid a^n[/mm], da diese beiden
> Implikationen logisch Äquivalent sind. Ja?
>
> Sei [mm]p^n[/mm] eine Primzahl, die als Potenz mit n die Zahl [mm]a^n[/mm]
> nicht teilt. Dann ist auch p kein Teiler von [mm]a^n[/mm].
>
>
> ... und wenn ich das richtig verstanden habe, dann bin ich
> jetzt sogar schon fertig!
Natürlich nicht ! Hast Du denn das
"Dann ist auch p kein Teiler von $ [mm] a^n [/mm] $"
gezeigt ?
FRED
> Ist da so richtig?
>
> Viele Grüße,
> Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Di 18.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
Stimmt, ich versuche das nachzuarbeiten:
Sei [mm] $p^n$ [/mm] kein Teiler von [mm] $a^n$, [/mm] dann ist p auch nicht in der Menge der Primfaktoren der Primfaktorzerlegung von [mm] $a^n$. [/mm] Da sich die Primfaktorzerlegung von [mm] $a^n$ [/mm] und $a$ nur in den Exponenten unterscheidet, ist der Menge der Primfaktoren von [mm] $a^n$ [/mm] und $a$ gleich. Dann ist $p$ auch nicht in der Menge der Primfaktoren von $a$ und somit kein Teiler von $a$. Es gilt also [mm] $p\nmid [/mm] a$.
Hoffe das stimmt jetzt so,
Danke für den Hinweis,
Micha
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Hallo Micha,
> Stimmt, ich versuche das nachzuarbeiten:
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> Sei [mm]p^n[/mm] kein Teiler von [mm]a^n[/mm], dann ist p auch nicht in der
> Menge der Primfaktoren der Primfaktorzerlegung von [mm]a^n[/mm].
Das folgt nicht ohne weiteres. Vielleicht ist ja [mm] p^{n-1} [/mm] ein Teiler von [mm] a^n. [/mm] (Geht natürlich nicht, aber warum doch gleich?)
Grüße
reverend
> Da
> sich die Primfaktorzerlegung von [mm]a^n[/mm] und [mm]a[/mm] nur in den
> Exponenten unterscheidet, ist der Menge der Primfaktoren
> von [mm]a^n[/mm] und [mm]a[/mm] gleich. Dann ist [mm]p[/mm] auch nicht in der Menge
> der Primfaktoren von [mm]a[/mm] und somit kein Teiler von [mm]a[/mm]. Es gilt
> also [mm]p\nmid a[/mm].
>
> Hoffe das stimmt jetzt so,
> Danke für den Hinweis,
> Micha
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:04 Di 18.02.2014 | | Autor: | mbra771 |
> Hallo Micha,
>
> > Stimmt, ich versuche das nachzuarbeiten:
> >
> > Sei [mm]p^n[/mm] kein Teiler von [mm]a^n[/mm], dann ist p auch nicht in der
> > Menge der Primfaktoren der Primfaktorzerlegung von [mm]a^n[/mm].
>
> Das folgt nicht ohne weiteres. Vielleicht ist ja [mm]p^{n-1}[/mm]
> ein Teiler von [mm]a^n.[/mm] (Geht natürlich nicht, aber warum doch
> gleich?)
>
Weil auch [mm] p^{n-1} [/mm] als Primteiler die Primzahl p haben muß. Schließlich ist [mm] p^{irgendetwas} [/mm] eine zusammengesetzte Zahl aus dem Faktor p.
Sehe ich das richtig, oder habe ich deine Frage missverstanden?
Grüße,
Micha
> Grüße
> reverend
>
> > Da
> > sich die Primfaktorzerlegung von [mm]a^n[/mm] und [mm]a[/mm] nur in den
> > Exponenten unterscheidet, ist der Menge der Primfaktoren
> > von [mm]a^n[/mm] und [mm]a[/mm] gleich. Dann ist [mm]p[/mm] auch nicht in der Menge
> > der Primfaktoren von [mm]a[/mm] und somit kein Teiler von [mm]a[/mm]. Es gilt
> > also [mm]p\nmid a[/mm].
> >
> > Hoffe das stimmt jetzt so,
> > Danke für den Hinweis,
> > Micha
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 20.02.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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