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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Taylorreihe mit Hessematrix
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Taylorreihe mit Hessematrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:03 Do 23.08.2018
Autor: StudMWT

Aufgabe
Sei a,b,c [mm] \in \IR. [/mm] Bestimmen Sie für die Transformation

f(r, [mm] \alpha, \beta) [/mm] = [mm] \vektor{br * sin (\alpha) * cos(\beta) \\ ar * sin(\alpha) * sin(\beta) \\ cr * cos(\beta)} [/mm]

das Taylorpolynom zweiter Ordnung im Entwicklungspunkt (1,0,0)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich komme hier nicht weiter bzw. bis zum Ende der Lösung (Lösung zwar vorhanden, aber hilft mir nur bedingt.

Lösung:

- Funktionalmatrix bestimmt von f

Das ist noch kein Problem

- Hessematrizen der einzelnen Komponenten bestimmen

auf die HM komme ich aber warum muss ich von jeder einzelnen Zeile ( br... ar... und cr ...) eine HM ausrechnen?

EW Punkte einsetzen ist dann auch kein Thema und die Formel für die Taylorreihe mit EP ist mir auch bekannt. Ich scheiter aber schon am zweiten Summanden, den mit der ersten Ableitung.

Mein großes Problem ist das Arbeiten mit einer Matrix als Funktion.

Hoffe das ist gut erklärt und verständlich

        
Bezug
Taylorreihe mit Hessematrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 So 26.08.2018
Autor: meili

Hallo StudMWT,

und [willkommenmr]

> Sei a,b,c [mm]\in \IR.[/mm] Bestimmen Sie für die Transformation
>  
> f(r, [mm]\alpha, \beta)[/mm] = [mm]\vektor{br * sin (\alpha) * cos(\beta) \\ ar * sin(\alpha) * sin(\beta) \\ cr * cos(\beta)}[/mm]
>  
> das Taylorpolynom zweiter Ordnung im Entwicklungspunkt
> (1,0,0)
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Ich komme hier nicht weiter bzw. bis zum Ende der Lösung
> (Lösung zwar vorhanden, aber hilft mir nur bedingt.
>  
> Lösung:
>  
> - Funktionalmatrix bestimmt von f
>  
> Das ist noch kein Problem
>  
> - Hessematrizen der einzelnen Komponenten bestimmen
>  
> auf die HM komme ich aber warum muss ich von jeder
> einzelnen Zeile ( br... ar... und cr ...) eine HM
> ausrechnen?

Die Hesse-Matrix ist definiert für Funktionen $g: D [mm] \supset \IR^n \to \IR$. [/mm]
(Wobei nicht so wichtig ist, ob es [mm] $\IR$ [/mm] oder ein anderer Körper ist,
aber auf die Dimensionen kommt es an.)

Die in der Aufgabe vorkommende Funktion $f$ ist $f: D [mm] \supset \IR^3 \to \IR^3$ [/mm] mit  

$f(r, [mm] \alpha, \beta) [/mm] = [mm] \vektor{f_1(r, \alpha, \beta) = br * sin (\alpha) * cos(\beta) \\ f_2(r, \alpha, \beta) = ar * sin(\alpha) * sin(\beta) \\ f_3(r, \alpha, \beta) = cr * cos(\beta)}$. [/mm]

Für die Komponentenfunktionen [mm] $f_1, f_2, f_3$ [/mm] kann man je eine Hesse-Matrix bilden,
aber nicht für f.

>  
> EW Punkte einsetzen ist dann auch kein Thema und die Formel
> für die Taylorreihe mit EP ist mir auch bekannt. Ich
> scheiter aber schon am zweiten Summanden, den mit der
> ersten Ableitung.

Vielleicht solltest du die Formel für die Taylorreihe einer mehrdimensionalen,
nicht reellwertigen Funktion in einem nächsten Post mal aufschreiben,
da ich sie nicht kenne, aber dann vielleicht sehe was wo einzusetzen ist.

>  
> Mein großes Problem ist das Arbeiten mit einer Matrix als
> Funktion.
>  
> Hoffe das ist gut erklärt und verständlich

[ok]

Gruß
meili


Bezug
                
Bezug
Taylorreihe mit Hessematrix: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Mo 27.08.2018
Autor: StudMWT

Würde es dir helfen, wenn ich die mir zugrunde liegende Lösung mal aufschreibe (per Hand) und als Datei hochlade?

Die Formel kann man ja googeln aber an sich steht bei f' die Jacobimatrix und bei f'' dann einfach H.
Hier habe ich aber eine reellwertige Funktion und anscheinend ja auch 3 Hessematrizen. Müsste evtl. anstatt dem einen H hier dann quasi eine Summe aus allen 3 stehen?

T = ... (H(f1)+H(f2)+Hf(3))

Wenn es keine reellwertige Funktion ist habe ich auch keine Probleme nur die Transformation im Gedankengang ist mir nicht klar.

Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe mit Hessematrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Di 28.08.2018
Autor: meili

Hallo StudMWT,

ja die vorliegende Lösung könnte weiterhelfen.

Ich hatte folgendes zweites Taylerpolynom einer skalarwertigen Funktion
[]Schmiegquadrik gefunden:

$T_2f(x;a) = f(a) + [mm] \nabla f(a)^T(x-a)+\bruch{1}{2}(x-a)^TH_f(a)(x-a)$ [/mm]

mit $a$ Entwicklungspunkt, [mm] $\nabla [/mm] f(a)$ Gradient und [mm] $H_f(a)$ [/mm] Hesse-Matrix.



Für eine Funktion $f: [mm] \IR^3 \to \IR^3$ [/mm] ist $T_2f(a;x)$ ein Vektor mit 3 Komponenten,
die jeweils aus einem Polynom bestehen.

Mit $ f(r, [mm] \alpha, \beta) [/mm] = [mm] \vektor{f_1(r, \alpha, \beta) = br \cdot{} sin (\alpha) \cdot{} cos(\beta) \\ f_2(r, \alpha, \beta) = ar \cdot{} sin(\alpha) \cdot{} sin(\beta) \\ f_3(r, \alpha, \beta) = cr \cdot{} cos(\beta)} [/mm] $ und $a = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] würde ich $T_2f(a;x)$ folgendermaßen abändern:

$f(a) = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ c}$ [/mm]

Anstatt [mm] $\nabla f(a)^T(x-a)$: [/mm]

[mm] $\vektor{(1. Zeile J_f(1,0,0))*\vektor{r-1 \\ \alpha \\ \beta} \\ (2. Zeile J_f(1,0,0))*\vektor{r-1 \\ \alpha \\ \beta}\\ (3. Zeile J_f(1,0,0))*\vektor{r-1 \\ \alpha \\ \beta}} [/mm] = [mm] J_f(1,0,0)*\vektor{r-1 \\ \alpha \\ \beta}$ [/mm]
mit [mm] $J_f(1,0,0)$ [/mm] Funktionalmatrix von $f$ an der Stelle [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}$ [/mm]


Anstatt [mm] $\bruch{1}{2}(x-a)^TH_f(a)(x-a)$: [/mm]

[mm] $\vektor{\bruch{1}{2}(r-1,\alpha, \beta)*H_{f_1}(1,0,0)*\vektor{r-1 \\ \alpha \\ \beta} \\ \bruch{1}{2}(r-1,\alpha, \beta)*H_{f_2}(1,0,0)*\vektor{r-1 \\ \alpha \\ \beta}\\ \bruch{1}{2}(r-1,\alpha, \beta)*H_{f_3}(1,0,0)*\vektor{r-1 \\ \alpha \\ \beta}}$ [/mm]


Ich weis nicht, ob das mit der vorliegenden Lösung übereinstimmt.

Gruß
meili


Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe mit Hessematrix: Gelöst
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Fr 14.09.2018
Autor: StudMWT

Danke, hat alles gepasst und stimmt mit der Lösung überein

Bezug
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