www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Taylor!
Taylor! < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Taylor!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Di 15.05.2018
Autor: Flowbro

Aufgabe
nr1
Es seien f ∈ [mm] C^n([a,b]) [/mm] mit a < b und T = [mm] T_{f,x0,n} [/mm] das Taylor-Polynom in einem festen [mm] x_{0} [/mm] ∈ [a,b]. Zeigen Sie, falls ein Polynom P vom Grad kleiner gleich n existiert mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^n} [/mm] = 0, dass dann P = T folgt.

nr2
Zeigen Sie fürr f ∈ [mm] C^3(R) [/mm] und x,h ∈R mit |h|≤ 1: [mm] \bruch{(x + h)-f(x-h)}{2h} [/mm] −f'(x) = [mm] \bruch{f'''(\alpha) + f'''(\beta)}{12}h^2 [/mm] mit gewissen [mm] \alpha, \beta [/mm] ∈R.

nr3
Finden Sie a,b,c ∈R, so dass für alle f ∈ [mm] C^3(R) [/mm] und x,h ∈R mit |h|≤ 1 gilt:
[mm] |\bruch{af(x)+bf(x+h)+cf(x+2h)}{h^2}-f''(x)|\le [/mm] K|h|, wobei wobei K > 0 von f und x abhängen darf. (Taylor der Ordnung 3)


Im Rahmen eines Proseminars soll ich mich mit Taylorfolgen beschäftigen.
Da ich dies noch nie so richtig hatte, würde ich mich sehr über Hilfe freuen!

        
Bezug
Taylor!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 Mi 16.05.2018
Autor: fred97

Bitte eröffne für jede dieser drei Aufgaben eine eigene Diskussion !

Ich zeige Dir mal Nr. 1.




> nr1
>  Es seien f ∈ [mm]C^n([a,b])[/mm] mit a < b und T = [mm]T_{f,x0,n}[/mm] das
> Taylor-Polynom in einem festen [mm]x_{0}[/mm] ∈ [a,b]. Zeigen Sie,
> falls ein Polynom P vom Grad kleiner gleich n existiert mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> = 0, dass dann P = T folgt.

Ich denke es lautet nicht \limes_{x\rightarrow\infty} sondern \limes_{x\rightarrow x_0}.

Stimmts ?

Für 0 \le k \le n ist  $ \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^k}=  \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-P(x)}{(x-x_{0})^n}(x-x_0)^{n-k}}=0$


Für k=0 liefert dies f(x_0)=P(x_0).

Für k=1 bekommen wir mit l'Hospital

$0= \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-P(x)}{x-x_{0}}= \lim_{x \to x_0}(f'(x)-P'(x))=f'(x_0)-P'(x_0), also f'(x_0)=P'(x_0).

Zweimalige Anwendung von l'Hospital liefert dann , mit k=2:  f''x_0)=P''(x_0).

Etc....

Fazit: f^{(k)}(x_0)=P^{(k)}(x_0)  für k=0,1,...,n.

Das bedeutet: T=P.




>


Bezug
        
Bezug
Taylor!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mi 16.05.2018
Autor: fred97


>
> nr2
>  Zeigen Sie fürr f ∈ [mm]C^3(R)[/mm] und x,h ∈R mit |h|≤ 1:
> [mm]\bruch{(x + h)-f(x-h)}{2h}[/mm] −f'(x) = [mm]\bruch{f'''(\alpha) + f'''(\beta)}{12}h^2[/mm]
> mit gewissen [mm]\alpha, \beta[/mm] ∈R.

Nach Taylor gibt es ein [mm] \alpha [/mm] zwischen x und x+h mit

(1) [mm] f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2+\frac{1}{6}f'''( \alpha)h^3. [/mm]

Ebenso ach Taylor gibt es ein $ [mm] \beta [/mm] $ zwischen x und x-h mit

(2) $ [mm] f(x-h)=f(x)-f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^2-\frac{1}{6}f'''( \beta)h^3. [/mm] $

Nun subtrahiere (2) von (1).




>  


Bezug
                
Bezug
Taylor!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Mi 16.05.2018
Autor: Flowbro

oh, super dankeschön an dich Fred!

Jetzt hast du mir schon zwei meiner Fragen beantwortet und ja bei meiner nr1 meinte ich [mm] x_{0}! [/mm]

Kein Problem, ich werde meine dritte Frage in einen anderen Forenthread umwandeln

Viele liebe Grüße Florian!!!

Bezug
        
Bezug
Taylor!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:59 Mi 16.05.2018
Autor: fred97


>  
> nr3
>  Finden Sie a,b,c ∈R, so dass für alle f ∈ [mm]C^3(R)[/mm] und
> x,h ∈R mit |h|≤ 1 gilt:
>  [mm]|\bruch{af(x)+bf(x+h)+cf(x+2h)}{h^2}-f''(x)|\leK|h|,[/mm]

Im Quelltext sehe ich , dass es lautet:

[mm]|\bruch{af(x)+bf(x+h)+cf(x+2h)}{h^2}-f''(x)| \le K|h|,[/mm]

> wobei
> wobei K > 0 von f und x abhängen darf. (Taylor der Ordnung
> 3)
>  Im Rahmen eines Proseminars soll ich mich mit Taylorfolgen
> beschäftigen.
>  Da ich dies noch nie so richtig hatte, würde ich mich
> sehr über Hilfe freuen!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de