Taylor-Entwicklung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Do 22.01.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
was bedeutet die "Taylor-Entwicklung"(mehrere Veränderliche),
in welchem Zusammenhang stehen die Begriffe "Taylor-Entwicklung" und "Taylorformel" ? Denn, ich habe bis jetzt bei dem Suchbegriff "Taylor-Entwicklung" immer den Begriff "Taylorformel " gefunden.
MfG
Igor
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Hallo Igor,
ich weiß nicht, wo Du gesucht hast, aber viel üblicher ist der Begriff "Taylorreihe". ![[]](/images/popup.gif) Hier auch ein bisschen zur Frage mehrerer Veränderlicher.
lg,
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:03 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo reverend,
da es bei meiner Übungsaufgabe "Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion..." steht, möchte ich explizit wissen, was die Taylor-Entwicklung ist, bzw. ihre übliche Definition.
Du hast auf den Artikel über die Taylor-Reihe hingewiesen.
Wenn ich in dem Satz "Bestimmen Sie die Taylor-Entwicklung der Funktion..." -anstatt Taylor-Entwicklung - Taylor-Reihe schreibe (also die übliche Definition der Taylor-Reihe ), wird sich dabei überhaupt nichts an der Aufgabenstellung ändern?
Ich meine: der Begriff Taylor-Entwicklung klingt abstrakter als die Taylorreihe.
Ich möchte diese Begriffe bzw. Zusammenhang dazwischen mit einfacheren Worten erklärt bekommen.
(Was sollte man wissen, damit man die Taylor-Entwicklung einer Funktion bestimmt?).
Wie ich hier normalerweise vorgehen würde:zuerst - studieren explizit die Definition der Taylor-Entwicklung , aber wo kann man darüber was finden?
Inwieweit hilft die Definition der Taylorreihe?
MfG
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 25.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Hallo,
>
> was bedeutet die "Taylor-Entwicklung"(mehrere
> Veränderliche),
> in welchem Zusammenhang stehen die Begriffe
> "Taylor-Entwicklung" und "Taylorformel" ? Denn, ich habe
> bis jetzt bei dem Suchbegriff "Taylor-Entwicklung" immer
> den Begriff "Taylorformel " gefunden.
>
> MfG
> Igor
Hallo Igor,
ich denke, die Ausdrücke "Taylorreihe" und
"Taylorentwicklung" werden etwa synonym
verwendet. Das "Taylorpolynom" n-ter Ord-
nung einer Funktion ist der Anfang der ent-
sprechenden Taylorreihe bis und mit dem
Glied mit dem Exponenten n. Die Taylorfor-
mel der Ordnung n enthält das Taylorpolynom
der Ordnung n und den zugehörigen Restglied-
Term [mm] R_n, [/mm] der die Abschätzung des maximalen
Fehlers erlaubt, den man begeht, wenn man
die Funktion f durch ihr Taylorpolynom vom
Grad n ersetzt.
Bei z.B. drei Variablen x,y,z ist das Taylor-
polynom der Ordnung 4 eine Summe von
Produkten der Form [mm] a_{ijk}*x^{i}*y^j*z^k [/mm] ,
wobei [mm] i,j,k\ge [/mm] 0 und [mm] i+j+k\le [/mm] 4.
(Summe der Exponenten [mm] \le [/mm] Ordnung)
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Sa 24.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
Um ein wenig ueber die Begriffe Taylorpolynom, Taylorentwicklung und Taylorreihe aufzuklaeren (Taylorformel ist vermutlich immer eins von den dreien):
- die Taylorreihe zur Funktion $f$ im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] ist die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} [/mm] (x - [mm] x_0)^k$;
[/mm]
- das Taylorpolynom (vom Grad $n$) ist die abgeschnittene Taylorreihe bis zum $n$-ten Term, also [mm] $\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} [/mm] (x - [mm] x_0)^k$;
[/mm]
- die Taylorentwicklung von der Funktion $f$ im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] mit Grad $n$ ist das Taylorpolynom von Grad $n$ zusammen mit dem Restglied (vom Grad $n + 1$).
So wuerde ich es zumindest sehen :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Sa 24.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
das gibt m.E. den Sprachgebrauch gut wieder. Eine genaue Definition der Begriffe will sich aber nicht finden lassen. Vielleicht ist ja mein google kaputt...
Mit anderen Worten: ich stimme Dir vollauf zu, weiß aber nicht, warum.
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Do 12.03.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo wieder,
wenn ich die beiden Beiträge von Al-Chwarizmi und Felix vergleiche, dann
stelle ich fest, dass die Taylorformel und die Taylor-Entwicklung dasselbe ist: also bestehend aus Taylor-Polynom und dem Restgliedterm. Das einzige , was die beiden Beiträge unterscheidet , ist, dass bei Al-Chwarizmi der Restgliedterm [mm] R_{n} [/mm] steht und bei Felix Restglied der (n+1)-Ordnung.
Stimmt das ?
MfG
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Do 12.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast Recht mit der Interpretation.
zur urspr. Aufgabe, bestimme die Taylorentwicklung ist gleichbedeutend mit bestimme die Taylorreihe. Sonst stuende ein n in der Aufgabe.
Gruss leduart
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> Hallo wieder,
>
> wenn ich die beiden Beiträge von Al-Chwarizmi und Felix
> vergleiche, dann
> stelle ich fest, dass die Taylorformel und die
> Taylor-Entwicklung dasselbe ist: also bestehend aus
> Taylor-Polynom und dem Restgliedterm. Das einzige , was die
> beiden Beiträge unterscheidet , ist, dass bei Al-Chwarizmi
> der Restgliedterm [mm]R_{n}[/mm] steht und bei Felix Restglied der
> (n+1)-Ordnung.
>
> Stimmt das ?
>
> MfG
> Igor
Hallo Igor,
da besteht überhaupt kein Unterschied !
Du musst nur beachten, dass das Restglied [mm] R_n [/mm] das ist,
was man beim Ersatz der vollständigen Taylorreihe durch
das Taylorpolynom n-ter Ordnung weglässt !
Das Restglied ist also:
$\ [mm] R_n=\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
[/mm]
Dies ist immer noch eine unendliche Reihe, welche keinen
endlichen Grad hat !
Die Lagrangesche Form des Restgliedes ist:
$\ [mm] R_n=\bruch{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*(x-x_0)^{n+1}$ [/mm] (mit einem [mm] \xi [/mm] zwischen [mm] x_0 [/mm] und x)
So betrachtet ist das Restglied [mm] R_n [/mm] also ein Term der
Ordnung $\ n+1$ ! Alles klar ?
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Do 12.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > wenn ich die beiden Beiträge von Al-Chwarizmi und Felix
> > vergleiche, dann
> > stelle ich fest, dass die Taylorformel und die
> > Taylor-Entwicklung dasselbe ist: also bestehend aus
> > Taylor-Polynom und dem Restgliedterm. Das einzige , was die
> > beiden Beiträge unterscheidet , ist, dass bei Al-Chwarizmi
> > der Restgliedterm [mm]R_{n}[/mm] steht und bei Felix Restglied der
> > (n+1)-Ordnung.
> >
> > Stimmt das ?
> >
> > MfG
> > Igor
>
>
> Hallo Igor,
>
> da besteht überhaupt kein Unterschied !
>
> Du musst nur beachten, dass das Restglied [mm]R_n[/mm] das ist,
> was man beim Ersatz der vollständigen Taylorreihe durch
> das Taylorpolynom n-ter Ordnung weglässt !
> Das Restglied ist also:
>
> [mm]\ R_n=\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k[/mm]
Kleine Anmerkung: dies ist nur gleich dem Restglied, wenn die Taylorreihe auch gegen die Funktion konvergiert. Das muss naemlich nicht der Fall sein, wie die Funktion $f(x) = [mm] e^{-1/x}$ [/mm] fuer $x > 0$ und $f(x) = 0$ sonst in [mm] $x_0 [/mm] = 0$ zeigt (die Taylorreihe ist identisch 0, die Funktion aber nicht).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 17.03.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der Schreibweise:
was bedeuten und wie unterscheiden sich die folgenden Schreibweisen?
(Anmerkung: diese kommen bei Taylorreihen mehrerer Veränderlichen mit der Multiindexschreibweise vor.)
[mm] \summe_{|\alpha|\le k}^{}
[/mm]
[mm] \summe_{|\alpha|=k}^{}
[/mm]
MfG
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Di 17.03.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] \alpha [/mm] sei immer [mm] \in \IZ
[/mm]
z.B.
$ [mm] \summe_{|\alpha|\le 2}^{}x_{\alpha} [/mm] = [mm] x_{-2}+x_{-1}+x_{0}+x_{1}+x_{2}$
[/mm]
$ [mm] \summe_{|\alpha| = 2}^{}x_{\alpha} [/mm] = [mm] x_{-2}+x_{2}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Do 19.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]\alpha[/mm] sei immer [mm]\in \IZ[/mm]
>
> z.B.
>
> [mm]\summe_{|\alpha|\le 2}^{}x_{\alpha} = x_{-2}+x_{-1}+x_{0}+x_{1}+x_{2}[/mm]
>
> [mm]\summe_{|\alpha| = 2}^{}x_{\alpha} = x_{-2}+x_{2}[/mm]
Eventuell wird auch ueber Multiindices indiziert, etwa [mm] $\aplha \in \IN^2$, [/mm] dann ist [mm] $\sum_{|\alpha| = 2} x_\alpha [/mm] = [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_1 x_2 [/mm] + [mm] x_2^2$ [/mm] und [mm] $\sum_{|\alpha| \le 2} [/mm] = 1 + [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_1 x_2 [/mm] + [mm] x_2^2$. [/mm] Man summiert also ueber alle [mm] $x_1^i x_2^j$ [/mm] mit $i + j = 2$ bzw. [mm] $\le [/mm] 2$.
LG Felix
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