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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Tangentialebene mehrer Verän.
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Tangentialebene mehrer Verän.: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Mo 22.06.2009
Autor: OlafP

Aufgabe
Guten Tag,
Gegeben ist folgende Funktion. [math] f(x,y) = x^2 (2 - y) -y^3 +3y^2 +9y[/math]
1) Tangentialebene im Punkt (1,1)
2 Richtung des steilsten Anstiegs
3) Richtungsableitung für die Richtung [mm] r=(1,1)^T [/mm]
4)Vektor der senkrecht auf der Tangentialebene steht

Mit freundlichen Grüßen
OlafP

Nach nervenraubender Suche im Internet und meinem Mathebuch habe ich leider keinen brauchbaren Ansatz gefunden und schau jetzt seit gut ner Stunde dieses Aufgabenblatt an. Ich würde mich sehr über einen Ansatz oder wenigstens einen kleinen Tipp zu den Aufgabenstellungen freuen.

Mit freundlichen Grüßen
OlafP

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Tangentialebene mehrer Verän.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Mo 22.06.2009
Autor: angela.h.b.


> Guten Tag,
>  Gegeben ist folgende Funktion. [math]f(x,y) = x^2 (2 - y) -y^3 +3y^2 +9y[/math]
>  
> 1) Tangentialebene im Punkt (1,1)
>  2 Richtung des steilsten Anstiegs
>  3) Richtungsableitung für die Richtung [mm]r=(1,1)^T[/mm]
>  4)Vektor der senkrecht auf der Tangentialebene steht

Hallo,

[willkommenmr].

Es ist sicher kein Fehler, wenn Du erstmal die partiellen Ableitungen der Funktion, [mm] f_x [/mm] und [mm] f_y, [/mm] berechnest.

Hieraus erhältst Du den Gradienten

Bzgl. der Richtung des steilsten Anstieges könntest mal herausfinden, was das mit dem Gradienten zu tun hat.

Den Gradienten kannst Du anschließend auch für die Richtungsableitung gut gebrauchen.

Bzgl der Tangentialebene findest Du []hier das Notwendige.

Schlag die Begriffe nach und zeig dann mal, wie weit Du kommst.

Gruß v. Angela





Bezug
                
Bezug
Tangentialebene mehrer Verän.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Mo 22.06.2009
Autor: OlafP

partielle Ableitung

fx(x)=[math] 4x-2yx[/math]
fy(x)= [mm] -x^2-3y^3+6y+9 [/mm]

grad f(x,y)=[math](4x-2yx[/math]; [mm] -x^2-3y^2+6y+9)^T [/mm]

x0=(1,1)

grad [mm] f(1,1)=(2;11)^T [/mm]

[math]z=12+2(x-1)+11(y-1)[/math] =[math] 2x+11y-1[/math]

soweit richtig oder nen Fehler drin?

Richtung des steilsten Anstiegs

Entspricht die Richtung des steilsten Anstiegs dem Gradienten in dem Punkt, also in diesem fall bei p=(1,1) ?
a(? als was bezeichnet man das?) = [mm] (2,11)^T [/mm]

Richtungsableitung

hier bin ich mir nicht sicher, scheint ja wieder was mit dem Gradient zu sein. ich habe bisher

grad f(1,1) = (2,11) => xo(vektor) = (2,11)*?(1,1)=?

Gruß
Olaf

Bezug
                        
Bezug
Tangentialebene mehrer Verän.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Mo 22.06.2009
Autor: angela.h.b.


> partielle Ableitung
>  
> fx(x)=[math] 4x-2yx[/math]
>  fy(x)= [mm]-x^2-3y^3+6y+9[/mm]

Hallo,

richtig.

>  
> grad f(x,y)=[math](4x-2yx[/math]; [mm]-x^2-3y^2+6y+9)^T[/mm]

Genau, einfach die partielle Ableitungen in einen Vektor stapeln.

>  
> x0=(1,1)
>  
> grad [mm]f(1,1)=(2;11)^T[/mm]

Ja.

>  
> [math]z=12+2(x-1)+11(y-1)[/math] =[math] 2x+11y-1[/math]

Genau, das ist die Gleichung der Tangentialebene, welche man natürlich in verschiedener Schreibweise angeben kann.

In Koordinatenform hat man 2x+11x -z=1,

woraus man die Normalenform [mm] \vektor{2\\11\\-1}\vex{x}=1 [/mm] erhält und sofort einen zur Tangentialebene senkrechten Vektor sieht, in welchem auch wieder der Gradient mit drinsteckt.

> soweit richtig oder nen Fehler drin?

Kein Fehler.

>  
> Richtung des steilsten Anstiegs
>  
> Entspricht die Richtung des steilsten Anstiegs dem
> Gradienten in dem Punkt, also in diesem fall bei p=(1,1) ?

Genau.

>  a(? als was bezeichnet man das?) = [mm](2,11)^T[/mm]

Eine besondere Bezeichung weiß ich da nicht.

> Richtungsableitung
>  
> hier bin ich mir nicht sicher, scheint ja wieder was mit
> dem Gradient zu sein. ich habe bisher
>  
> grad f(1,1) = (2,11) => xo(vektor) = (2,11)*?(1,1)=?

Ja, die Richtungsableitung in Richtung [mm] \vektor{1\\1} [/mm] ist

[mm] D_{ \vec{v}}f [/mm]  = [mm] gradf(1,1)*\vektor{1\\1}=\vektor{2\\1}*\vektor{1\\1}=3. [/mm]

Hier mußt Du aber nochmal mit Deiner Mitschrift vergleichen, oft ist es nämlich so, daß für die Richtungsableitung der Vektor [mm] \vec{v} [/mm] normiert sein muß, also mit [mm] \vec{v_0} [/mm] gerechnet wird.

Dann hat man [mm] \vec{v_0}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1} [/mm] und rechnet  [mm] D_{\vec{v}}f= gradf(1,1)*\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1}. [/mm]

Gruß v. Angela

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Tangentialebene mehrer Verän.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Mo 22.06.2009
Autor: OlafP

Danke für die schnelle und kompetente Hilfe :)

Gruß Olaf

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Tangentialebene mehrer Verän.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Di 23.06.2009
Autor: Moni1987

Hallo,

ich hätte mal noch ein, zwei Fragen zu der Aufgabe.

Wie bist du auf die Tangentialebene gekommen?!? ich hatte da 12x+11y-11 raus!
und wie kommt man auf die koordinatenform?

dann heißt es ja das man die Normalenform erhält, warum schreibt man dann x=1? und ist das jetzt der senkrechte Vektor?

wie kommst du auf 3 bei der Richtungsableitung?!?
wenn man (2,11)*(1,1) nimmt bekomm ich da 13 raus und nicht 3.


wär toll ne Rückantwort zu bekommen =) danke!

Bezug
                                        
Bezug
Tangentialebene mehrer Verän.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Di 23.06.2009
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  
> ich hätte mal noch ein, zwei Fragen zu der Aufgabe.
>  
> Wie bist du auf die Tangentialebene gekommen?!? ich hatte
> da 12x+11y-11 raus!

Hallo,

das kann ja nicht sein. Zumindest  ein "=irgendwas"  müßte noch kommen. Man will ja die Ebenen[b]gleichung[/url].

Ich hatte ja die Seite aus dem Papula verlinkt.
Wenn wir das als Gesprächsbasis nehmen, würde ich sagen, daß Du das [mm] z_0 [/mm] unterschlagen hast.


>  und wie kommt man auf die koordinatenform?

???

Wenn Du noch 'ne Gleichung draus machst, hast Du doch auch die Koordinatenform.


> dann heißt es ja das man die Normalenform erhält, warum
> schreibt man dann x=1?

???

Wer schreibt denn x=1?

$ [mm] \vektor{2\\11\\-1}*\vec{x}=1 [/mm] $ ist die Normalenform der Tangetialebene.

(Ich hab' eben gesehen, daß in meinem anderen Post der Vektorpfeil fehlte.)


>  und ist das jetzt der senkrechte
> Vektor?

Ja.

>  
> wie kommst du auf 3 bei der Richtungsableitung?!?
>  wenn man (2,11)*(1,1) nimmt bekomm ich da 13 raus und
> nicht 3.

Wenn Du mal genau hinschaust, hatte ich versehentlich [mm] \vektor{2\\1} [/mm] geschrieben statt [mm] \vektor{2\\11}. [/mm]
Dein Ergebnis stimmt - es sei denn Ihr habt das so definiert, daß Ihr den Richtungsvektor noch normieren müßt.

Gruß v. Angela

>  
>
> wär toll ne Rückantwort zu bekommen =) danke!


Bezug
                                                
Bezug
Tangentialebene mehrer Verän.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mi 24.06.2009
Autor: Moni1987


> das kann ja nicht sein. Zumindest  ein "=irgendwas"  müßte
> noch kommen. Man will ja die Ebenengleichung[/url].
>
> Ich hatte ja die Seite aus dem Papula verlinkt.
> Wenn wir das als Gesprächsbasis nehmen, würde ich sagen,
> daß Du das [mm]z_0[/mm] unterschlagen hast.

Ja ich hab mir den Link angeguckt gehabt, aber leider werd ich da nicht richtig schlau draus.
ich hab denn da z=-97+7y+x
da hatte ich dann aber vorher ein x ausgeklammert.
Kannst du mir da vielelicht nochmal helfen? Ich wird das gern verstehen kanns mir aber selber irgendwie nich richtig herleiten...



> [mm]\vektor{2\\11\\-1}*\vec{x}=1[/mm] ist die Normalenform der
> Tangetialebene.
> >  und ist das jetzt der senkrechte

> > Vektor?
>
> Ja.

aber muss ich da nicht noch irgendwas ausrechnen? Oder lass ich die Normalenform so stehen und sage das der Vektor [mm] (2,11,-1)^T [/mm] der senkrechte Vektor ist????

danke

Bezug
                                                        
Bezug
Tangentialebene mehrer Verän.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Do 25.06.2009
Autor: angela.h.b.


> Ja ich hab mir den Link angeguckt gehabt, aber leider werd
> ich da nicht richtig schlau draus.

Hallo,

jetzt gucken wir mal zusammen.

Da steht, daß die Gleichung der Tangentialebene im Flächenpunkt [mm] P(x_0,y_0,z_0) [/mm] lautet

[mm] z=f_x(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y(x_0, y_0)(y-y_0) [/mm] + [mm] z_0. [/mm]

(Es ist zwar läppisch, aber vielleicht kannst Du es Dir so besser merken: [mm] z-z_0=f_x(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y(x_0, y_0)(y-y_0) [/mm] )

Es ist nun gefargt nach der Tangentialebene im Punkt  [mm] (x_0,y_0)= [/mm] (1,1).
Wie Du oben siehst, brauchen wir noch das zugehörige [mm] z_0, [/mm] also [mm] z_0=f(x_0,y_0)=f(1,1)=12. [/mm]

Die partielle Ableitungen im Punkt (1,1) waren [mm] f_x(1,1)=2, f_y(1,1)=11, [/mm] und somit bekommen wir

z=2(x-1)+11(y-1)+12= 2x+ 11y-1,

oder, anders aufgeschreiben  1=2x+11y-z.  So sehen Ebenengleichungen des [mm] \IR^3 [/mm] in der Koordinatendarstellung aus.

Die rechte Seite kannst Du als ausgeführtes Skalarprodukt betrachten, und so kommt man zur Normalform der Ebenengleichung:

[mm] \vektor{2\\11\\-1}*\vektor{x\\y\\z}=1. [/mm]


> > [mm]\vektor{2\\11\\-1}*\vec{x}=1[/mm] ist die Normalenform der
>  > Tangetialebene.

>  > >  und ist das jetzt der senkrechte

>  > > Vektor?

>  >
>  > Ja.

>  
> aber muss ich da nicht noch irgendwas ausrechnen? Oder lass
> ich die Normalenform so stehen und sage das der Vektor
> [mm](2,11,-1)^T[/mm] der senkrechte Vektor ist????

Ja. Du brauchst noch nichtmal die Normalenform hinzuschreiben, sondern Du kannst auch einfach die Koeffizienten vor x,y und z in einen Vektor stellen und mitteilen, daß das der Normalenvektor der Ebene ist (bzw. ein Normalenvektor). Das ist nicht erklärungsbedürftig, das ist Allgemeingut, das weiß "man".
Manchmal brauch man den Vktor [mm] \vex{n_0}, [/mm] den Normaleneinheitsvektor. Dazu müßtest Du den Normalenvektor noch normieren, als durch seine Länge dividieren.

Gruß v. Angela




Bezug
                                                                
Bezug
Tangentialebene mehrer Verän.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:42 Do 25.06.2009
Autor: Moni1987

danke dir hast mir sehr geholfen =)

gruß Moni

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