Symmetrische Gruppe, Produkt < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Kann die symmetrische Gruppe auf drei Elementen [mm]\Sigma_{3}[/mm] das Produkt zweier Gruppen [mm]G_1 \times G_2[/mm] sein, so dass weder [mm]G_1[/mm] noch [mm]G_2[/mm] die triviale Gruppe ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Antwort ist "Nein". Zur Begründung: Wie kann man das kurz und knackig begründen? Bei meiner Lösung muss ich tausend Fälle unterscheiden, das ist nicht wirklich elegant.
Danke für eine Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Jochen,hier eine knackige Begründung ;)
Die Symmetrische Gruppe auf 3 Elementen hat 6 Elemente, wäre sie Produkt zweier nicht-trivialer Gruppen,so müssten diese Gruppen Ordnung 2 bzw 3 haben, d.h es wäre [mm] $\Sigma_3=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. [/mm] Nun ist dieses Produkt aber abelsch, im Gegensatz zu [mm] $\Sigma_3$, [/mm] Widerspruch.
Viele Grüße,
Jan
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