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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Symmetrieeigenschaft
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Symmetrieeigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Sa 21.03.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Eigenschaften der Binomialverteilung:

1) Erwartungswert und Varianz: ...
2) Symmetrieeigenschaft: Ist X ~ Bi(n;p), dann ist die Zufallsvariable Y = n - X ebenfalls binomialverteilt: Y ~ Bi(n; 1 - p). Es gilt also P(X = x) = P(Y = y) für y = n - x.
3) Additionseigenschaft: ...


Die Symmetrieeigenschaft leuchtet ja irgendwie ein, aber jetzt lautet die Aufgabenstellung:

"Leiten Sie die Symmetrieeigenschaft der Binomialverteilung aus der Symmetrieeigenschaft des Binomialkoeffizienten [mm] (\vektor{n \\ x} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n - x}) [/mm] her."

Ich weiß leider nicht so richtig, was hier als Lösung korrekt wäre. Das liegt auch daran, dass mir nicht mal wirklich klar ist, worin die Symmetrieeigenschaft eigentlich konkret besteht:

1) Aus Y = n - X folgt, dass Y binomialverteilt ist.
2) Aus Y = n - X folgt, dass P(X = x) = P(Y = y) für y = n - x.

Ich hätte einfach hingeschrieben:

P(Y = y) = P(n - X = y) = P(X = n - y) = P(X = n - n + x) = P(X = x)

Aber hier kommt ja nirgends die Symmetrie des Binomialkoeffizienten vor.

Kann mir einer mal zeigen, was hier die korrekte "Antwort" wäre?

        
Bezug
Symmetrieeigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Sa 21.03.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich hätte einfach hingeschrieben:
>  
> P(Y = y) = P(n - X = y) = P(X = n - y) = P(X = n - n + x) = P(X = x)

Falsch ist das bis hierhin ja erst mal nicht…  

> Aber hier kommt ja nirgends die Symmetrie des Binomialkoeffizienten vor.

Wie ist Y denn nun verteilt? Das hast du ja noch gar nicht hingeschrieben.
Du hast zwar gezeigt: $P(Y = y) = P(X = x)$, die Gleichung ist ja aber trivial, da $Y = n - X$ und $y = n-x$ ist.
Das ginge übrigens noch einfacher über: $P(Y = y) = P(n - X = n - x) = P(X = x)$
Aber wie ist Y denn nach der Gleichung nun verteilt? Das ist daraus erst mal überhaupt nicht offensichtlich. Die Gleichung $P(Y = y) = P(X = x)$ gilt ja sogar für jedes beliebige $Y = f(X)$ mit $f$ injektiv, aber nicht für jede beliebige Abbildung wäre Y dann auch Binomialverteilt.

Daher: Wie soll Y verteilt sein (also was ist zu zeigen)? Was ist dagegen $P(X=x)$?
Und um vom einen zum anderen zu kommen brauchst du die Symmetrie des Binomialkoeffizienten.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Symmetrieeigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 So 22.03.2020
Autor: sancho1980

Hallo!

>  Wie ist Y denn nun verteilt? Das hast du ja noch gar nicht
> hingeschrieben.

Also irgendwie leuchtet mir nicht ein, wieso ich hiermit nicht bereits auch die Verteilung von Y hergeleitet habe. Wenn da steht P(X = x) = P(Y = y), dann folgt doch zugleich

P(Y = y) = P(X = x) = [mm] \vektor{n \\ x} p^x q^{n - x} [/mm] mit q := (1 - p)

Ich hab's jetzt nochmal anders aufgeschrieben, bin mir aber immer noch nicht sicher, ob das nun die Lösung ist:

P(Y = y) = [mm] \vektor{n \\ y} q^y p^{n - y} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n - x} q^{n - x} p^{n - n + x} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ x} p^{x} q^{n - x} [/mm] = P(X = x)

Fehlt noch was? Im Endergebnis steht da (wieder):

P(Y = y) = P(X = x),

aber das stand doch vorhin auch schon da!

Bezug
                        
Bezug
Symmetrieeigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 So 22.03.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo!
>  
> >  Wie ist Y denn nun verteilt? Das hast du ja noch gar nicht

> > hingeschrieben.
>  
> Also irgendwie leuchtet mir nicht ein, wieso ich hiermit
> nicht bereits auch die Verteilung von Y hergeleitet habe.
> Wenn da steht P(X = x) = P(Y = y), dann folgt doch
> zugleich
>  
> [mm]P(Y = y) = P(X = x) = \vektor{n \\ x} p^x q^{n - x}[/mm]

Ja das folgt, allerdings steht da nun ja faktisch:
[mm]P(Y = y) = \vektor{n \\ x} p^x q^{n - x}[/mm]
Links steht also irgendwas abhängig von $y$ und rechts steht irgendwas abhängiges von $x$.
Was sagt das über die Verteilung von $y$ aus? Nix.
Transformiere die rechte seite also soweit weiter, dass du einen Ausdruck hast, der nur noch von $n,p$ und $y$ abhängt!


> Ich hab's jetzt nochmal anders aufgeschrieben, bin mir aber
> immer noch nicht sicher, ob das nun die Lösung ist:
>  
> P(Y = y) = [mm]\vektor{n \\ y} q^y p^{n - y}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ n - x} q^{n - x} p^{n - n + x}[/mm]
> = [mm]\vektor{n \\ x} p^{x} q^{n - x}[/mm] = P(X = x)

Deine erste Gleichung stimmt doch gar nicht.
Die ist nämlich zu zeigen!
Wieso sollte gelten [mm]P(Y = y) = \vektor{n \\ y} q^y p^{n - y}[/mm]? Das begründe mal…

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Symmetrieeigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 So 22.03.2020
Autor: sancho1980

Hallo!

> Ja das folgt, allerdings steht da nun ja faktisch:
>  [mm]P(Y = y) = \vektor{n \\ x} p^x q^{n - x}[/mm]
> Links steht also irgendwas abhängig von [mm]y[/mm] und rechts steht
> irgendwas abhängiges von [mm]x[/mm].
>  Was sagt das über die Verteilung von [mm]y[/mm] aus? Nix.
>  Transformiere die rechte seite also soweit weiter, dass du
> einen Ausdruck hast, der nur noch von [mm]n,p[/mm] und [mm]y[/mm] abhängt!

Also

P(Y = y) = [mm] \vektor{n \\ x} p^x q^{n - x} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n - y} p^{n - y} q^{y} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ y} p^{n - y} q^{y} [/mm]

Und fertig?

Bezug
                                        
Bezug
Symmetrieeigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:08 Mo 23.03.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also
>  
> P(Y = y) = [mm]\vektor{n \\ x} p^x q^{n - x}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ n - y} p^{n - y} q^{y}[/mm] = [mm]\vektor{n \\ y} p^{n - y} q^{y}[/mm]

Jo, jetzt noch vielleicht ein Satz, dass das nun die Form einer Binomialverteilung zum Parameter $q = 1-p$ ist, was zu zeigen war.
Ist dir nun auch klar, warum man dafür die Symmetrie des Binomialkoeffizienten benötigt und es ohne nicht geht?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Symmetrieeigenschaft: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:08 Di 24.03.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

>  Ist dir nun auch klar, warum man dafür die Symmetrie des
> Binomialkoeffizienten benötigt und es ohne nicht geht?

ja, das ist mir klar. Es ging mir nur drum, dass mir irgendwie nicht klar war, was eigentlich zu zeigen ist, denn der Satz der Symmetrieeigenschaft sagt am Ende ja einfach, dass P(X = x) = P(Y = y), was ich ja schon mit meinem Eingangspost gezeigt hatte.

Ich glaub, es ist ein Formulierungsproblem; mir wäre es klarer gewesen, wenn da einfach gestanden hätte:

Zeigen Sie, dass für y = n - x aus

P(X = x) = [mm] \vektor{n \\ x} p^x q^{n - x} [/mm]

folgt, dass

P(Y = y) = [mm] \vektor{n \\ y} q^y p^{n - y} [/mm]

Bezug
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