Supremum und Infimum bestimmen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme das Supremum und Infimum der Menge A := [mm] \{ \bruch{n^{2}+2}{n^{2}-4n+5} \} [/mm] |
Das ist wahrscheinlich eine ziemlich einfache Sache, aber ich hänge gerade beim Analysis-Wiederholen einfach mittendrin fest:
Das Infimum ist offensichtlich 0.4, denn wenn ich die Folge [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \{ \bruch{n^{2}+2}{n^{2}-4n+5} \} [/mm] betrachte, steigt die Größe ihrer Glieder ab [mm] a_{0} [/mm] an, hat dann irgendwann ihr Maximum und sinkt von da an wieder ab, wobei sie sich dem Grenzwert 1 annähert.
Dass 0.4 untere Schranke ist, ist ja anscheinend wahr, da gilt: [mm] \{ \bruch{n^{2}+2}{n^{2}-4n+5} \} \ge [/mm] 0.4 [mm] \gdw 0.6n^{2} \ge -\bruch{8}{5}n [/mm]
Wie zeige ich aber, dass es kleinste untere Schranke ist?
Außerdem weiß ich nicht, wie ich das Supremum bestimme.
Wer hat einen Tipp für mich?
Und nein, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 So 12.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimme das Supremum und Infimum der Menge A := [mm]\{ \bruch{n^{2}+2}{n^{2}-4n+5} \}[/mm]
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> Das ist wahrscheinlich eine ziemlich einfache Sache, aber
> ich hänge gerade beim Analysis-Wiederholen einfach
> mittendrin fest:
> Das Infimum ist offensichtlich 0.4, denn wenn ich die Folge
> [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\{ \bruch{n^{2}+2}{n^{2}-4n+5} \}[/mm] betrachte,
> steigt die Größe ihrer Glieder ab [mm]a_{0}[/mm] an, hat dann
> irgendwann ihr Maximum und sinkt von da an wieder ab, wobei
> sie sich dem Grenzwert 1 annähert.
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> Dass 0.4 untere Schranke ist, ist ja anscheinend wahr, da
> gilt: [mm]\{ \bruch{n^{2}+2}{n^{2}-4n+5} \} \ge[/mm] 0.4 [mm]\gdw 0.6n^{2} \ge -\bruch{8}{5}n[/mm]
> Wie zeige ich aber, dass es kleinste untere Schranke ist?
Hallo,
wenn, dann ist es größte untere Schranke.
Die 0,4 ist das Folgenglied [mm] a_0. [/mm] Eine größere untere Schranke kann es nicht geben, sonst wäre ein Folgenglied kleiner als eine untere Schranke.
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> Außerdem weiß ich nicht, wie ich das Supremum bestimme.
Hast du nicht vorhin selbst gesagt, dass die Folge bis zu einem Maximalwert ansteigt und dann wieder fällt?
Berechne einfach allgemein die Differenz [mm] a_{n+1}-a_n. [/mm] Bis zu einem bestimmten n ist dieser Term positiv (die Folge steigt) und ab diesem n negativ (die Folge beginnt wieder zu fallen).
So findest du das größte Folgenglied.
Gruß Abakus
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> Wer hat einen Tipp für mich?
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> Und nein, ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:17 So 12.04.2009 | | Autor: | Held |
> Hast du nicht vorhin selbst gesagt, dass die Folge bis zu
> einem Maximalwert ansteigt und dann wieder fällt?
Die Aussage ist falsch.
Aber es ist hilfreich sich die ersten 5 Folgenglieder anzugucken. Dann kriegst du eine Vermutung, was das Supremum sein könnte und überprüfst es.
EDIT:
Tut mir leid, die Aussage ist doch richtig, hab mich verrechnet :(
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