Summe einer Reihe bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Summe der Reihe:
[mm] {\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{x^{2i}}} [/mm] |
Ich habe mich im Netz schon schlau gemacht und folgende Formel gefunden:
s = a * [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Ich habe mir meine Aufgabe dann folgendermaßen umgeschrieben:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} {\bruch{1}{x}^{2i}}
[/mm]
Dann habe ich als q = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und als a = 1 (Nur 0 für i eingesetzt)
Zusammengesetzt heißt es dann:
{ s = 1 * [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{1}{x²}} [/mm] }
Ist mein Ansatz hier richtig oder vollkommen daneben gegriffen? Vielen Dank für Eure Antworten 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Sa 03.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Michi4590!
Dein Ansatz ist richtig. Wann konvergiert die Reihe und was ist
dann am Ende die Summe?
Gruß
DieAcht
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Ich bekomme als Ergebnis:
{ s = 1 -x}. Eine Frage noch: Wie ist das genau gemeint, gegen was diese Reihe konvergiert?
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Hallo Michi4590.
Konvergieren bedeutet sich an etwas annähern.
Was DieAcht wissen möchte ist, welchem Wert sich deine Summe annähert.
Man sagt in diesem Fall alternativ zu "Die Summe nähert sich dem Wert ... an" auch "Die Summe konvergiert gegen (den Grenzwert) ..."
DieAcht kommt auf die Frage da über der Reihe ein Unendlich-Zeichen steht. Was bedeutet dies denn hier?
Allerdings könnten wir uns im Moment noch auf Glatteis befinden, wenn wir nicht beachten, was für eine Zahl x ist. Hast Du da eventuell eine Voraussetzung in der Aufgabenstellung vergessen?
Deine Formel stimmt. Aber wieso stimmt sie? Versuche hierzu mal folgende Herleitung zu verstehen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen, wobei du [mm] a_0=1 [/mm] setzt
Wenn ich mich nicht irre hast Du dein q leider noch nicht ganz richtig gewählt. Du kannst hierzu die Summe ja mal in wolframalpha.com eintippen und schauen was da passiert...
Vielleicht hattet ihr diesen Typ von Summe schon in eurer Vorlesung und du kannst bei richtiger Wahl von q einen Satz verwenden?
Viele Grüße,
VelvetPaws
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:29 Sa 03.01.2015 | | Autor: | Michi4590 |
Dann ist der Ausdruck "konvergiert gegen" eigentlich eine reine Limes - Anwendung? (Höchste Potenz ausklammern?)
Wir haben einen Satz dafür, der scheint mir allerdings ziemlich ähnlich mit meiner Formel:
https://www.dropbox.com/s/togjdvhqgiap2i0/Satz%203.4.PNG?dl=0
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Dann ist der Ausdruck "konvergiert gegen" eigentlich eine reine Limes - Anwendung? (Höchste Potenz ausklammern?)
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Ganz genau. Blos die Schreibweise unterscheidet sich:
1.) $ {\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{1}{x^{2i}}} \to ...\quad fuer\ n\to \infty$, wobei der Pfeil "konvergiert gegen" augesprochen wird.
2.) $ \lim_{n \to \infty}{\summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{x^{2i}}}=...$
Mein Analysis-Professor benutzt z.B. häufig die 1.) Variante, schreibt den ersten Pfeil etwas länger und setzt $n\to \infty$ oben drauf.
Manche Autoren plädieren dafür ${\summe_{i=0}^{\infty}$ als $ \lim_{n \to \infty}{\summe_{i=0}^{n}$ zu definieren. Was soll denn auch anderes gemeint sein mit dem Unendlich-Zeichen oben auf der Summe...? Allerdings ist damit im Prinzip nur die Reihe (eine Summe mit unendlich vielen Summationsgliedern/Summanden) an sich gemeint und man kann dann noch nicht von einem Grenzwert sprechen, obwohl die Reihe sich diesem natürlich annähert.
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Wir haben einen Satz dafür, der scheint mir allerdings ziemlich ähnlich mit meiner Formel:
https://www.dropbox.com/s/togjdvhqgiap2i0/Satz%203.4.PNG?dl=0
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Genau auf den Satz soll's hinauslaufen.
Wenn Du nun
1.) Deine Reihe so umschreiben kannst, damit sie die gleiche Darstellung wie in deinem Satz hat
und
2.) (wie in deinem Satz vorausgesetzt wird) |q|<1 ist.
darfst Du den Satz verwenden.
Wie musst du nun die Reihe aufschreiben, damit sie die gleiche Darstellung wie im Satz hat (nur i soll als Exponent auftreten)?
Wie sieht dann dein q aus?
Was muss dann für x gelten, damit du den Satz verwenden darfst?
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Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe.
Wenn ich meine Aufgabe umschreibe, so habe ich:
{ [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{x^2}) }^i
[/mm]
Dann wäre mein q jetzt das { [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] } und mein a = 1
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 So 04.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michi!
> Wenn ich meine Aufgabe umschreibe, so habe ich: [mm]\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{x^2})^i[/mm]
> Dann wäre mein q jetzt das [mm]\bruch{1}{x²}[/mm] und mein a = 1 ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 So 04.01.2015 | | Autor: | Michi4590 |
Top, ich danke Euch für Eure Hilfe
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Eine letzte Frage noch: Sehe ich das dann richtig, dass es mit meiner Formel egal ist, ob i=0 oder i= eine andere Zahl ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 So 04.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Eine letzte Frage noch: Sehe ich das dann richtig, dass es
> mit meiner Formel egal ist, ob i=0 oder i= eine andere Zahl
> ist?
ganz und gar nicht. Wenn es nicht bei i=0 los geht, musst Du alle die Summanden, die nun nicht dabei sind, natürlich von dem Ergebnis der Formel subtrahieren.
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Ah, ok. Wenn also i=2 ist, dann muss ich hinter der Summe noch -2 schreiben, sodass ich auf i=0 komme.
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Nein! Du musst nur die Summe aufteilen und dann wie schon gesagt wurde die restlichen Summanden abziehen:
$ [mm] \frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}= \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{x^2})^i =\summe_{i=0}^{1} (\bruch{1}{x^2})^i [/mm] + [mm] \summe_{i=2}^{\infty} (\bruch{1}{x^2})^i [/mm] $
Also $ [mm] \summe_{i=2}^{\infty} (\bruch{1}{x^2})^i [/mm] = [mm] \frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}-\summe_{i=0}^{1} (\bruch{1}{x^2})^i=\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}-1-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{1-\frac{1}{x^2}}-\frac{1+x^2}{x^2}$
[/mm]
Möchte mal noch auf die Frage, was für x gelten muss, damit du den Satz überhaupt anwenden darfst, zurückkommen, auf die du anfangs nicht eingangen bist. Antwort: Es muss $|x|>1$ gelten, damit [mm] $|q|=|\frac{1}{x^2}|<1$ [/mm] gilt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Michi4590 |
Sorry, das hatte ich übersehen. Es muss |x|>1 gelten.
Und vielen Dank für die Erklärung mit der Summ, für den Fall das i=2 (oder ein anderer Wert ist).
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