Substitution alternative Metho < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Keine genaue Aufgabenstellung.
Beispiel angeführt. |
Guten Abend.
Ich beschäftige mich derzeitig mit Integralen.
In der Schule haben wir Integralsubstitution und partielle Integration nicht besprochen (im Gk), weshalb ich mir zur Integralsubstitution als Methode die "Ingenieursmethode" angeschaut habe.
Ingenieursmethode meint das Umstellen des Differentials, also z.B:
[mm] \bruch{du}{dx}=cos(x) \Rightarrow dx=\bruch{du}{cos(x)}
[/mm]
Nach Betrachten des Lk-Buches eines Freundes, habe ich dann gesehen, dass es scheinbar eine andere Methode gibt.
Bei den einfacheren Integralen habe ich diese auch verstanden und anwenden können, bei schwierigeren Substitutionen leider nicht.
Es handelt sich dabei um folgende Methode:
Es sei eine Funktion h'(x) gegeben, dargestellt als
h'(x)=a(x)*f(g(x))
[mm] \integral_{a}^{b}{h'(x) dx}=h(x)= \integral_{a}^{b}{a(x)*f'(g(x) dx}
[/mm]
Bei einfachen Integralen konnte man folgern:
[mm] c*\integral_{a}^{b}{g'(x)*f(g(x) dx}=F(g(b))-F(g(a)) \Rightarrow \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz}
[/mm]
Genau diese Methode hat auch unser Tutor in der Übung verwendet.
Ich frage mich nun wie ich diese Methode bei schwierigeren Integralsubstitutionen anwenden soll.
Nehmen wir als Beispiel:
[mm] \integral_{0}^{0.5}{x*\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] mit sin(u)=x
Mit [mm] 1-x^2=u [/mm] konnte ich die obige Methode bspw. anwenden mit sin(u)=x weiß ich jedoch nicht wirklich weiter.
Ich dachte mir, dass man quasi aus f(x) auf f(g(u))*g'(u) schlussfolgern könnte:
[mm] x*\wurzel{1-x^2}=f(x)
[/mm]
Also sei:
[mm] \integral_{0}^{0.5}{f(x) dx}
[/mm]
x=sin(u)
Es müsste also ein alternatives Integral mit der Form f(g(u))*g'(u) und unterschiedlichen Grenzen existieren:
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{f(sin(u)) du}
[/mm]
Nebenrechnung:
f: x [mm] \to x*\wurzel{1-x^2}
[/mm]
f: sin(u) [mm] \to sin(u)*\wurzel{1-sin^2(u)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(u)*\wurzel{1-sin^2(u)} du}
[/mm]
Aber mit dieser Integralsubstitution komme ich nicht weiter.
Ich denke, dass ich einen Fehler gemacht habe oder vielleicht etwas übersehen habe.
Deswegen würde ich mich über eine Erklärung sehr freuen.
Ferner würde ich gerne wissen, ob es einen Beweis dafür gibt, dass man die "Ingenieursmethode" anwenden kann.
Eigentlich handelt es sich bei Differentialen wie [mm] \bruch{dx}{dy} [/mm] oder [mm] \bruch{dz}{du} [/mm] doch um feststehende Ausdrücke für einen Differenzquotienten (also im Sinne von: [mm] \limes_{\Delta(x)\rightarrow\(0)}\bruch{f(x+\Delta(x))-f(x)}{x+\Delta(x)}=f'(x)).
[/mm]
Umstellen würfe ja zu so etwas wie:
[mm] \limes_{\Delta(x)\rightarrow\(0)}f(x+\Delta(x))-f(x)=f'(x)*\limes_{\Delta(x)\rightarrow\(0)}(x*\Delta(x)) [/mm]
was aber in sich einen Widerspruch führen würde, da f'(x) ja [mm] =\limes_{\Delta(x)\rightarrow\(0)}\bruch{f(x+\Delta(x))-f(x)}{x+\Delta(x)} [/mm] ist, denke ich, wobei ich nicht weiß inwiefern das stimmt, da mir das gerade auffällt und ich nicht wirklich weiß wie man so etwas als Beweis anführt.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und ebenso hoffe ich, dass der Text verständlich ist.
Mir fällt es schwer mich auszudrücken.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Di 12.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Keine genaue Aufgabenstellung.
> Beispiel angeführt.
> Guten Abend.
>
> Ich beschäftige mich derzeitig mit Integralen.
> In der Schule haben wir Integralsubstitution und partielle
> Integration nicht besprochen (im Gk), weshalb ich mir zur
> Integralsubstitution als Methode die "Ingenieursmethode"
> angeschaut habe.
>
>
> Ingenieursmethode meint das Umstellen des Differentials,
> also z.B:
> [mm]\bruch{du}{dx}=cos(x) \Rightarrow dx=\bruch{du}{cos(x)}[/mm]
>
> Nach Betrachten des Lk-Buches eines Freundes, habe ich dann
> gesehen, dass es scheinbar eine andere Methode gibt.
>
> Bei den einfacheren Integralen habe ich diese auch
> verstanden und anwenden können, bei schwierigeren
> Substitutionen leider nicht.
> Es handelt sich dabei um folgende Methode:
>
> Es sei eine Funktion h'(x) gegeben, dargestellt als
> h'(x)=a(x)*f(g(x))
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{h'(x) dx}=h(x)= \integral_{a}^{b}{a(x)*f'(g(x) dx}[/mm]
>
> Bei einfachen Integralen konnte man folgern:
> [mm]c*\integral_{a}^{b}{g'(x)*f(g(x) dx}=F(g(b))-F(g(a)) \Rightarrow \integral_{g(a)}^{g(b)}{f(z) dz}[/mm]
>
> Genau diese Methode hat auch unser Tutor in der Übung
> verwendet.
> Ich frage mich nun wie ich diese Methode bei schwierigeren
> Integralsubstitutionen anwenden soll.
>
> Nehmen wir als Beispiel:
> [mm]\integral_{0}^{0.5}{x*\wurzel{1-x^2} dx}[/mm] mit sin(u)=x
>
> Mit [mm]1-x^2=u[/mm] konnte ich die obige Methode bspw. anwenden mit
> sin(u)=x weiß ich jedoch nicht wirklich weiter.
>
> Ich dachte mir, dass man quasi aus f(x) auf f(g(u))*g'(u)
> schlussfolgern könnte:
> [mm]x*\wurzel{1-x^2}=f(x)[/mm]
>
> Also sei:
> [mm]\integral_{0}^{0.5}{f(x) dx}[/mm]
> x=sin(u)
>
> Es müsste also ein alternatives Integral mit der Form
> f(g(u))*g'(u) und unterschiedlichen Grenzen existieren:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(sin(u)) du}[/mm]
>
> Nebenrechnung:
> f: x [mm]\to x*\wurzel{1-x^2}[/mm]
> f: sin(u) [mm]\to sin(u)*\wurzel{1-sin^2(u)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\integral_{a}^{b}{sin(u)*\wurzel{1-sin^2(u)} du}[/mm]
>
> Aber mit dieser Integralsubstitution komme ich nicht
> weiter.
Hallo,
es ist [mm] \wurzel{1-sin^2(u)}=|cos(u)|.
[/mm]
Das Produkt sin(u)*cos(u) lässt sich unter Anwendung der Doppelwinkelformel als
0,5*sin(2u) schreiben,
eine Stammfunktion davon ist [mm] \bruch{-cos(2u)}{4}.
[/mm]
Gruß Abakus
> Ich denke, dass ich einen Fehler gemacht habe oder
> vielleicht etwas übersehen habe.
>
> Deswegen würde ich mich über eine Erklärung sehr
> freuen.
>
> Ferner würde ich gerne wissen, ob es einen Beweis dafür
> gibt, dass man die "Ingenieursmethode" anwenden kann.
> Eigentlich handelt es sich bei Differentialen wie
> [mm]\bruch{dx}{dy}[/mm] oder [mm]\bruch{dz}{du}[/mm] doch um feststehende
> Ausdrücke für einen Differenzquotienten (also im Sinne
> von:
> [mm]\limes_{\Delta(x)\rightarrow\(0)}\bruch{f(x+\Delta(x))-f(x)}{x+\Delta(x)}=f'(x)).[/mm]
>
> Umstellen würfe ja zu so etwas wie:
>
> [mm]\limes_{\Delta(x)\rightarrow\(0)}f(x+\Delta(x))-f(x)=f'(x)*\limes_{\Delta(x)\rightarrow\(0)}(x*\Delta(x))[/mm]
>
> was aber in sich einen Widerspruch führen würde, da f'(x)
> ja
> [mm]=\limes_{\Delta(x)\rightarrow\(0)}\bruch{f(x+\Delta(x))-f(x)}{x+\Delta(x)}[/mm]
> ist, denke ich, wobei ich nicht weiß inwiefern das stimmt,
> da mir das gerade auffällt und ich nicht wirklich weiß
> wie man so etwas als Beweis anführt.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen und ebenso hoffe ich, dass
> der Text verständlich ist.
> Mir fällt es schwer mich auszudrücken.
>
> Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Di 12.04.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo abakus und danke für die super Antwort.
Wie schaut es mit dem unteren Teil der Frage aus bezüglich der Ingenieursmethode?
Gibt es ein Beweis dafür? Ein Link ist natürlich auch ok.
Danke und viele, viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 14.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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