Stetigkeit zeigen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 07.12.2010 | | Autor: | Sneel |
| Aufgabe | Wir betrachten die beiden reellen Funktionen f, g : [mm] \IR\to\IR [/mm] die durch
f(x)=x2+x−1 und g(x)=−x+2
gegeben sind. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen a für die die Funktion
[mm] {h_{a}(x)}=\begin{cases} {f(x)}, & \mbox{für } x\le a \\{g(x)},& \mbox{für } x>a \end{cases}
[/mm]
stetig ist. |
Es hapert bei mir überall, fangen wir langsam an^^
Muss ich zeigen, dass [mm] {h_{a}(x)} [/mm] an den Stellen stetig ist, wo f(x) = g(x)?
Also ist mein a=-3 und a=1?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Di 07.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo sneel!
> Muss ich zeigen, dass [mm]{h_{a}(x)}[/mm] an den Stellen stetig
> ist, wo f(x) = g(x)?
> Also ist mein a=-3 und a=1?!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau. Jedoch muss ein "oder" zwisachen die beiden a-Werte.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Di 07.12.2010 | | Autor: | Sneel |
Ok, weiter weiß ich, dass eine Funktion stetig in [mm] x_{0} [/mm] ist, wenn der Grenzwert der Funktion in [mm] x_{0} [/mm] existiert.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}f(x) [/mm] = [mm] f(x_{0})
[/mm]
Muss ich mir jetzt [mm] |f(x)-f(-3)|<\varepsilon [/mm] oder g(x) angucken?
Allgemein: Muss ich das mit dem [mm] \varepsilon,\delta [/mm] Kriterium beweisen?
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Hallo Sneel,
> Ok, weiter weiß ich, dass eine Funktion stetig in [mm]x_{0}[/mm]
> ist, wenn der Grenzwert der Funktion in [mm]x_{0}[/mm] existiert.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}}f(x)[/mm] = [mm]f(x_{0})[/mm]
>
> Muss ich mir jetzt [mm]|f(x)-f(-3)|<\varepsilon[/mm] oder g(x)
> angucken?
> Allgemein: Muss ich das mit dem [mm]\varepsilon,\delta[/mm]
> Kriterium beweisen?
Nein, weitaus einfacher ist es, an den Stellen a jeweils den links- und rechtsseitigen Limes von [mm]h_a(x)[/mm] für [mm]x\to a[/mm] zu untersuchen.
Beachte, dass linksseitig, also für [mm]xa[/mm] rechtsseitig dann [mm]h_a(x)=g(x)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 07.12.2010 | | Autor: | Sneel |
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a-} h_{a}=f(a)=9-3-1=5
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a+} h_{a}=g(a)=9-3-1=5
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ a-} h_{a}=\limes_{x\rightarrow\ a+} h_{a} \Rightarrow [/mm] stetig in a=-3
Das gleiche noch für a=1, oder habe ich mir es jetzt zu einfach gemacht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 So 12.12.2010 | | Autor: | Brandon |
ich behandle gerade die gleiche Aufgabe.
Kannst du mir erklären, was genau das bedeutet?
$ [mm] \lim\limits_{x\to -3^+}h_{-3}(x)=\lim\limits_{x\to -3^+}g(x)=-(-3)+2=5 [/mm] $
wieso lasse ich limes gegen [mm] -3^{+} [/mm] laufen, wenn -3 doch im negativen Bereich liegt? warum heißt es dann nicht [mm] -3^{-} [/mm] oder einfach [mm] a^{-}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:53 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> ich behandle gerade die gleiche Aufgabe.
>
> Kannst du mir erklären, was genau das bedeutet?
>
> [mm]\lim\limits_{x\to -3^+}h_{-3}(x)=\lim\limits_{x\to -3^+}g(x)=-(-3)+2=5[/mm]
>
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> wieso lasse ich limes gegen [mm]-3^{+}[/mm] laufen, wenn -3 doch im
> negativen Bereich liegt? warum heißt es dann nicht [mm]-3^{-}[/mm]
> oder einfach [mm]a^{-}?[/mm]
$ x [mm] \to -3^{+}$ [/mm] bedeutet: ich nähere mich von rechts der Zahl -3
$ x [mm] \to -3^{-}$ [/mm] bedeutet: ich nähere mich von links der Zahl -3
FRED
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)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
