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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit nachweisen
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Stetigkeit nachweisen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Fr 05.08.2016
Autor: phifre

Aufgabe
Es sei [mm] $f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}$ [/mm] definiert durch
$$f(x,y) = [mm] \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}, &\text{falls } (x,y)\neq(0,0) \\ \hfil 0, & \text{falls } (x,y)=(0,0)\end{cases}$$ [/mm]
Man prüfe, ob $f$ in $(0,0)$ stetig ist.


Hallo!

Ich weiß leider nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll..
Ich habe leider nicht mal eine Vermutung, ob die Funktion stetig ist oder nicht.
Betragsmäßige Abschätzungen nach oben haben mich bis jetzt nicht weiter gebracht..

Vielen Dank für Tipps!

        
Bezug
Stetigkeit nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Fr 05.08.2016
Autor: fred97


> Es sei [mm]f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}[/mm] definiert
> durch
>  [mm]f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}, &\text{falls } (x,y)\neq(0,0) \\ \hfil 0, & \text{falls } (x,y)=(0,0)\end{cases}[/mm]
>  
> Man prüfe, ob [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm] stetig ist.
>  
> Hallo!
>  
> Ich weiß leider nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen
> soll..
>  Ich habe leider nicht mal eine Vermutung, ob die Funktion
> stetig ist oder nicht.
>  Betragsmäßige Abschätzungen nach oben haben mich bis
> jetzt nicht weiter gebracht..

Es ist

  $|f (x,y)| [mm] \le \wurzel{|x|}|y|$ [/mm]

fred

>  
> Vielen Dank für Tipps!


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit nachweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:37 Sa 06.08.2016
Autor: phifre

Vielen Dank!
Das gilt da
[mm] $$\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right| [/mm] = [mm] \frac{|xy|}{|\sqrt{|x|}+y^2|} \leq \frac{|x||y|}{\sqrt{|x|}} [/mm] = [mm] \sqrt{|x|}|y|$$ [/mm]
Somit gilt
$$ [mm] \lim_{x,y\to0} \left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right| \leq \lim_{x,y\to0} \sqrt{|x|}|y| [/mm] = 0$$
Also ist $f(x,y)$ stetig in $(0,0)$.

Liebe Grüße



Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit nachweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:04 Sa 06.08.2016
Autor: fred97


> Vielen Dank!
>  Das gilt da
>  [mm]\left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right| = \frac{|xy|}{|\sqrt{|x|}+y^2|} \leq \frac{|x||y|}{\sqrt{|x|}} = \sqrt{|x|}|y|[/mm]


(k)eine Kleinigkeit :

bei der Herleitung obiger abschätzung muss man  [mm] x\ne [/mm] 0 fordern.

nachträglich sieht man aber dass dies Ungleichung auch für x=0 gilt

fred


>  
> Somit gilt
>  [mm]\lim_{x,y\to0} \left|\frac{xy}{\sqrt{|x|}+y^2}\right| \leq \lim_{x,y\to0} \sqrt{|x|}|y| = 0[/mm]
>  
> Also ist [mm]f(x,y)[/mm] stetig in [mm](0,0)[/mm].
>  
> Liebe Grüße
>  
>  


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