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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit mit Variablen
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Stetigkeit mit Variablen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Fr 09.05.2014
Autor: natreen123

Aufgabe
Bestimmen Sie die Konstanten [mm] a_{0}, a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] jeweils so, dass bei den abschnittsweise definierten Funktion selbst sowie die Ableitungen f' und f'' stetig sind. Skizzieren Sie jeweils f, f' und f''.

Hallo Forum :),
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Die Funktion lautet:
[mm] f(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox{für } x \le \mbox{1} \\ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 , & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases} [/mm]


Mein Ansatz ist folgender:
ich bestimme jeweils den links und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x = 1 und setze die beiden dann gleich:

[mm] \limes_{x\rightarrow\1//x<1} e^x [/mm] = e

[mm] \limes_{x\rightarrow\1//x>1} a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + [mm] a_{2}x^2 [/mm] = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm]

wenn ich das nun gleichsetze kommt ja dann

e = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm]

wie mache ich jetzt weiter?
Ich hab das schon mal mit einer Variable gehabt, da wäre das jetzt nicht mehr schwer. Aber mit 3 Variablen komm ich nicht weiter.
Ich hoffe es kann mir einer weiterhelfen :)

Gruß, natreen




        
Bezug
Stetigkeit mit Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Fr 09.05.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Bestimmen Sie die Konstanten [mm]a_{0}, a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] jeweils
> so, dass bei den abschnittsweise definierten Funktion
> selbst sowie die Ableitungen f' und f'' stetig sind.
> Skizzieren Sie jeweils f, f' und f''.
>  Hallo Forum :),
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Die Funktion lautet:
>  [mm]f(x)=\begin{cases} e^x, & \mbox{für } x \le \mbox{1} \\ a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^2 , & \mbox{für } x \mbox{ >1} \end{cases}[/mm]
>  
>
> Mein Ansatz ist folgender:
>  ich bestimme jeweils den links und rechtsseitigen
> Grenzwert an der Stelle x = 1 und setze die beiden dann
> gleich:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1//x<1} e^x[/mm] = e
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1//x>1} a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x[/mm] + [mm]a_{2}x^2[/mm] =
> [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm]
>  
> wenn ich das nun gleichsetze kommt ja dann
>
> e = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] + [mm]a_{2}[/mm]
>  
> wie mache ich jetzt weiter?
> Ich hab das schon mal mit einer Variable gehabt, da wäre
> das jetzt nicht mehr schwer. Aber mit 3 Variablen komm ich
> nicht weiter.
>  Ich hoffe es kann mir einer weiterhelfen :)

Die Hoffnung kann erfüllt werden !  :-)
  

> Gruß, natreen


Hallo natreen123 und

                 [willkommenmr]

Die Gleichung, die du oben aufgestellt hast, steht dafür,
dass die Funktion f an der "Nahtstelle", also bei x=1, stetig ist.
Jetzt brauchst du noch zwei weitere analoge Gleichungen,
welche dann die Stetigkeit von f' und f'' an dieser Stelle
garantieren.
Insgesamt hast du dann ein Gleichungssystem mit den 3
Unbekannten [mm] a_0 [/mm] , [mm] a_1 [/mm] , [mm] a_2 [/mm] .

LG ,   Al-Chwarizmi



Bezug
                
Bezug
Stetigkeit mit Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 Fr 09.05.2014
Autor: natreen123

Danke Al-Chwarizmi, ich glaube jetzt sollte ich es hinkriegen.
Falls nicht frag ich nochmal nach :)

LG natreen

Bezug
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