Stetigkeit, mehrere Variabeln < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 So 21.06.2009 | | Autor: | kthorus |
Hallo allerseits,
mich beschäftigt folgendes: Die Stetigkeit bei gebrochen rationalen Funktionen lässt sich auf die Stetigkeit der Nullstellen des Nenners reduzieren, aber:
- man findet fast nur Beispiele und Varianten wo gezeigt wird, dass die Funktion eben dann gerade unstetig ist (bei 0,0)...
Ich möchte aber zeigen, dass sie da stetig ist.
Laut diesem Thema
( http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?forum=400510&topic=100658 )
ist der Ansatz mit den Polarkoordinaten auch nicht wirklich gültig, aber die dort verwendeten Definition haben wir nicht eingeführt.
Also interessiert mich vor allem: warum und vor allem wie kann ich zeigen, dass diese :
f(x, y) = $ [mm] \bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} [/mm] $ für (x,y) $ [mm] \not= [/mm] $ (0; 0) und f(0, 0) = 0
und diese
f(x,y) [mm] =\bruch{x^3 y}{x^4 + y^2} [/mm] für (x,y) $ [mm] \not= [/mm] $ (0; 0 und f(0,0) = 0. )
Funktionen wirklich in (0,0) stetig sind?
Je mehr ich dazu lese umso mehr verliere ich Überblick und Klarheit, gerade durch die Masse an offensichtlich falschen und nicht weitergeführten Antworten.
Bitte nur ernste Antworten - das klingt unhöflich, aber bei Threads die ich bisher gefunden habe kamen oft nur ein bis zwei ungenaue, oder extrem allgemein gehaltene bis falsche Antworten und dann nichts mehr. Vielen Dank, für die Person die sich Zeit nimmt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 So 21.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo allerseits,
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> mich beschäftigt folgendes: Die Stetigkeit bei gebrochen
> rationalen Funktionen lässt sich auf die Stetigkeit der
> Nullstellen des Nenners reduzieren, aber:
>
> - man findet fast nur Beispiele und Varianten wo gezeigt
> wird, dass die Funktion eben dann gerade unstetig ist (bei
> 0,0)...
>
> Ich möchte aber zeigen, dass sie da stetig ist.
>
> Laut diesem Thema
> (
> http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?forum=400510&topic=100658
> )
> ist der Ansatz mit den Polarkoordinaten auch nicht
> wirklich gültig, aber die dort verwendeten Definition haben
> wir nicht eingeführt.
>
> Also interessiert mich vor allem: warum und vor allem wie
> kann ich zeigen, dass diese :
> f(x, y) = [mm]\bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0;
> 0) und f(0, 0) = 0
>
> und diese
> f(x,y) [mm]=\bruch{x^3 y}{x^4 + y^2}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0; 0 und
> f(0,0) = 0. )
>
> Funktionen wirklich in (0,0) stetig sind?
>
> Je mehr ich dazu lese umso mehr verliere ich Überblick und
> Klarheit, gerade durch die Masse an offensichtlich falschen
> und nicht weitergeführten Antworten.
>
> Bitte nur ernste Antworten - das klingt unhöflich, aber bei
> Threads die ich bisher gefunden habe kamen oft nur ein bis
> zwei ungenaue, oder extrem allgemein gehaltene bis falsche
> Antworten und dann nichts mehr. Vielen Dank, für die Person
> die sich Zeit nimmt.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
bei Funktionen mit einer Variablen hilft die Betrachtung der Vielfachheit von Zähler- und Nennernullstellen im Fall 0/0.
[mm] x^4/x^2 [/mm] und [mm] x^3/x^2 [/mm] haben an der Stelle 0 den Grenzwert 0, [mm] x^2/x^2 [/mm] hat den Grenzwert 1 und [mm] x^1/x^2 [/mm] besitzt dort keinen GW.
Bei zwei Variablen x und y ist z.B im Term [mm] x^3y/x^2y^2 [/mm] an der Stelle (0|0) sowohl im Zähler als auch im Nenner eine vierfache Nullstelle (4=3+1 bzw. 2+2) vorhanden.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 21.06.2009 | | Autor: | kthorus |
Ja, das ist soweit klar, allerdings möchte ich die Stetigkeit der Funktion. Dazu brauche ich mit möglichst hoher Exaktheit die Stetigkeit in (0,0).
Dass (0,0) bei beiden Funktionen eine Nst ist, ist mir bewusst, es ist die einzige die für ie Stetigkeit relevant ist, der Rest lässt sich aus Kompositionssätzen schließen. Letzten Endes ist es nur wichtig weil ich die Komposition nur für den Nenner=0 ausschließen muss und daher dort die Stetigkeit anderweitig zeigen muss.
Also - wie argumentiert man sauber!! (Polarkoordinaten wirklich sauber? totale Differenzierbarkeit?) dass sie in 0,0 stetig ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 So 21.06.2009 | | Autor: | kthorus |
Leider hatte der erste Beitrag das Thema nicht begriffen, so unschön es ist: *push*
Ich habe schon eine ganze Weile gerätselt und lange gesucht, aber mir fehlt etwas klares und klare Aussagen zu dem Thema, und da dränge ich nicht ohne Grund und auch nicht aus purer Unhöflichkeit
Schaut sonst niemand mehr rein sobald einer einmal etwas geschrieben hat?
Ich danke, falls sich nochmal jemand Zeit nimmt.
Viele Grüße,
thorus
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Hallo kthorus,
> Ja, das ist soweit klar, allerdings möchte ich die
> Stetigkeit der Funktion. Dazu brauche ich mit möglichst
> hoher Exaktheit die Stetigkeit in (0,0).
>
> Dass (0,0) bei beiden Funktionen eine Nst ist, ist mir
> bewusst, es ist die einzige die für ie Stetigkeit relevant
> ist, der Rest lässt sich aus Kompositionssätzen schließen.
> Letzten Endes ist es nur wichtig weil ich die Komposition
> nur für den Nenner=0 ausschließen muss und daher dort die
> Stetigkeit anderweitig zeigen muss.
>
> Also - wie argumentiert man sauber!! (Polarkoordinaten
> wirklich sauber? totale Differenzierbarkeit?) dass sie in
> 0,0 stetig ist?
Du hast neben der Geschichte mit den Polarkoordinaten die auch in [mm] $\IR$ [/mm] gängigen Verfahren mit der Folgenstetigkeit und die "normale" [mm] $\varepsilon-\delta$-Definition [/mm] der Stetigkeit, die du hernehmen kannst.
Die kannst du beide nahezu wörtlich auf den [mm] $\IR^2$ [/mm] (oder [mm] $\IR^n$) [/mm] übertragen...
Eine Fkt. [mm] $f:\IR^2\to\IR$ [/mm] ist in [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] stetig, falls
[mm] $\forall \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists \delta>0 [/mm] \ [mm] \forall (x,y)\in\IR^2 [/mm] \ : \ [mm] ||(x,y)-(x_0,y_0)||<\delta [/mm] \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ [mm] |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$
[/mm]
Auf dein Bsp. 2) übertragen:
Gib dir ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor, schätze den Betrag [mm] $|f(x,y)-f(0,0)|=\left|\frac{x^3y}{x^4+y^2}-0\right|=\frac{\left|x^3y\right|}{x^4+y^2}$ [/mm] "geeignet" ab und konstruiere damit dein gesuchtes [mm] $\delta$ [/mm] derart, dass für alle [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $||(x,y)-(0,0)||=||(x,y)||<\delta$ [/mm] dann [mm] $\frac{\left|x^3y\right|}{x^4+y^2} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 21.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch zeigen, dass in einer [mm] \delta [/mm] Umgebung von (0,0) [mm] f(x,y),\epsilon [/mm] ist.
Dazu dient das Verfahren mit den polarkoordinaten. denn wenn du hast, dass UNABHAENGIG vom Winkel der Ausdruck fuer r gegen 0 gegen 0 konv. dann hast du ja einen Kreis um 0, mit Radius [mm] \delta [/mm] so dass f(x,y) fuer x,y innerhalb des Kreises kleiner als [mm] \epsilon [/mm] wird, wenn r bzw. [mm] \delta [/mm] klein genug ist.
Nur wenn du auf dem Wege nicht zum Ziel kommst musst du anders vorgehen. bzw. wenn der Gw vom Winkel abhaengt hast du es leicht die Unstetigkeit zu zeigen.
fuer deine 1. te fkt
$ [mm] f(x,y)=\bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} [/mm] $
also [mm] \bruch{r^4*sin\phi*cos\phi*(cos^2\phi-sin^2\phi)}{r^2*1}=r^2*sin\phi*cos\phi*(cos^2\phi-sin^2\phi)
Die Aussage, dass das nicht immer geht im planeten ist falsch, es muss nur klar sein, was man eigentlich zeigt, und mit bel [mm] \phi [/mm] erreicht man jeden punkt in der r bzw [mm] \delta [/mm] Umgebung.
anders, wenn im Nenner [mm] (x^2+y^2)^2 [/mm] stuende, dann wuerde der Bruch nur fuer bestimmte [mm] \phi [/mm] 0 und du haettest Unstetigkeit, weil du in jeder Umgebung punkte mit [mm] f>\epsilon [/mm] faendest.
Die Methode ist unabhaengig davon, was ihr "durchgenommen habt und kann immer verwendet werden, wenigstens, wenn du es am ende mit [mm] \epsilon, \delta [/mm] noch praezisierst.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 22.06.2009 | | Autor: | kthorus |
Wunderbar, Danke ihr beiden.
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