Stetigkeit im metr. Raum < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Do 14.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum und [mm] x_0 [/mm] ein Punkt in M. Seien die Funktionen f,g : M [mm] \rightarrow \IR [/mm] stetig in [mm] x_0 [/mm] . Sei [mm] g(x_0)\not= [/mm] 0 Zeigen Sie
a) Es gibt ein r>0 mit [mm] g(x)\not= [/mm] 0 [mm] \forall x\in U_{r}(x_0)
[/mm]
b) Die Funktion [mm] \br{f}{g} [/mm] : [mm] U_r(x_0) \rightarrow \IR [/mm] ist stetig in [mm] x_0 [/mm] . |
Hallo Ihr.
Also bei den beiden Teilaufgaben finde ich keinen Ansatz, vielleicht könntet Ihr mir mal helfen
b) recht trivial, Verkettung stetiger Funktionen, oder???
Danke für eure Hilfe und ein schönes Wochenende.
Tschüß sagt Röby
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Hallo Marcel,
dann wollen wir mal 
Wir wissen:
[mm]g(x_0) \not= 0 \Rightarrow d(g(x_0),0) \not= 0. [/mm]
Metrik positiv definitit:
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]d(g(x_0),0) = a > 0.[/mm]
Wähle 0<r<a.
Aber irgendwie ist mir das als Übungsaufgabe auch zu einfach^^
Zu b) sei nur gesagt: Wenn ihr gezeigt habt, daß Verkettungen stetiger Funktionen stetig sind, ist die Argumentation ok. Wenn nicht, musst du das zu Fuss beweisen
Gruß,
Gono.
> Sei (M,d) ein metrischer Raum und [mm]x_0[/mm] ein Punkt in M. Seien
> die Funktionen f,g : M [mm]\rightarrow \IR[/mm] stetig in [mm]x_0[/mm] . Sei
> [mm]g(x_0)\not=[/mm] 0 Zeigen Sie
>
> a) Es gibt ein r>0 mit [mm]g(x)\not=[/mm] 0 [mm]\forall x\in U_{r}(x_0)[/mm]
>
> b) Die Funktion [mm]\br{f}{g}[/mm] : [mm]U_r(x_0) \rightarrow \IR[/mm] ist
> stetig in [mm]x_0[/mm] .
> Hallo Ihr.
>
> Also bei den beiden Teilaufgaben finde ich keinen Ansatz,
> vielleicht könntet Ihr mir mal helfen
>
> b) recht trivial, Verkettung stetiger Funktionen, oder???
>
> Danke für eure Hilfe und ein schönes Wochenende.
>
> Tschüß sagt Röby
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Hallo Gono.
Danke erstmal für deine schnelle Antwort
Doch (wie immer  ) noch mal ein paar Fragen
> [mm]g(x_0) \not= 0 \Rightarrow d(g(x_0),0) \not= 0.[/mm]
>
> Metrik positiv definitit:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]d(g(x_0),0) = a > 0.[/mm]
> Wähle 0<r<a
Man nimmt ja jetzt nur den Abbstand, von einen beliebigen [mm] g(x_0) [/mm] zu 0
reicht den die Aussage, um es zu verallgemeinern, wie du es machst???
Ich würde es so machen
[mm] U_r(x_0):=(x\in [/mm] M [mm] :d(x,x_0)
angenommen, es esistiert ein [mm] x_a\in [/mm] g(x) mit [mm] x_a\not\in U_r(x_0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow |x_a-x_0|\ge [/mm] r
Widerspruch, da r beliebig
Kann man das so lassen???
>
> Zu b) sei nur gesagt: Wenn ihr gezeigt habt, daß
> Verkettungen stetiger Funktionen stetig sind, ist die
> Argumentation ok. Wenn nicht, musst du das zu Fuss beweisen
>
Also wir haben es bewiesen, das eine Komposition von stetigen Funktionen auch stetig ist.
Aber bin mir nicht sicher, ob wir das so verwenden dürfen.
Wie muss ich das "zu Fuss" beweisen???
Vielen Dank für die Antwort und ein schönes Wochenende
Tschüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 16.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo zusammen.
Ich würde es so machen
[mm]U_r(x_0):=(x\in[/mm] M [mm]:d(x,x_0)
angenommen, es esistiert ein [mm]x_a\in[/mm] g(x) mit [mm]x_a\not\in U_r(x_0)[/mm]
[mm]\Rightarrow |x_a-x_0|\ge[/mm] r
Widerspruch, da r beliebig
Kann man das so lassen???
> > Zu b) sei nur gesagt: Wenn ihr gezeigt habt, daß
> > Verkettungen stetiger Funktionen stetig sind, ist die
> > Argumentation ok. Wenn nicht, musst du das zu Fuss beweisen
> >
>
> Also wir haben es bewiesen, das eine Komposition von
> stetigen Funktionen auch stetig ist.
> Aber bin mir nicht sicher, ob wir das so verwenden
> dürfen.
>
> Wie muss ich das "zu Fuss" beweisen???
Vielen Dank für die Antwort und ein schönes Wochenende
Tschüß sagt Röby
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Hiho,
mir ist gerade eingefallen, wie man den ersten Teil richtig beweisen müsste *schäm*
Ok, wir wissen, daß g stetig, also insbesondere stetig in [mm] x_0 [/mm] ist, d.h:
[mm]\forall\epsilon > 0 \exists\delta: d(x,x_0) < \delta \Rightarrow d(g(x),g(x_0)) < \epsilon [/mm]
oder Anders geschrieben:
[mm]\forall\epsilon > 0 \exists\delta: x \in U_\delta(x_0) \Rightarrow d(g(x),g(x_0)) < \epsilon [/mm]
In Worten:
(1) Zu jedem Epsilon finde ich ein Delta, so daß es eine Deltaumgebung um [mm] x_0 [/mm] gibt, so daß alle Funktionwerte der x aus der Deltaumgebung in der vorgegebenen Epsilon-Umgebung um [mm] g(x_0) [/mm] liegen.
Ok, nun wissen wir also:
[mm]g(x_0) \not= 0[/mm] d.h. [mm]d(g(x_0),0) = \epsilon > 0[/mm]
Da g nun wie oben beschrieben stetig ist, existiert zu diesem Epsilon nun also ein Delta (bzw. r), so daß gilt:
[mm]\forall x \in U_r(x_0): d(g(x_0),g(x))< \epsilon[/mm]
Da [mm]d(g(x_0),0) = \epsilon[/mm] und [mm]d(g(x_0),g(x))< \epsilon[/mm] folgt daraus direkt [mm]g(x) \not= 0 \forall x \in U_r(x_0)[/mm]
Soviel zu a, hoffe das war nun verständlich.
b) mach ich nachher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Sa 16.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Dankeschön.
So habe ich es jetzt verstanden, wegen b) lass dir ruhig Zeit, wäre aber nett, wenn du mir da noch einen Lösungsweg oder ~tipp geben könntes.
Danke nochmal und noch ein schönes Wochenende.
Tschüß sagt Röby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 So 17.12.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo, kannst du zu b mal bitte noch einen Tipp geben???
Dank dir..
Tschüß sagt Röby
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Achja, guck dir mal die Definition der Folgenstetigkeit an und dann nutze Grenzwertsätze :)
Gruß
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 19.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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