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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Stetigkeit bestimmen
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Stetigkeit bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Di 07.12.2010
Autor: celeste16

Aufgabe
Entscheiden Sie, ob die Funktionen im Punkt (0,0) stetig sind:
a) f(x,y)= [mm] \bruch{3x^2y-y^3}{x^2+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)} [/mm] und (0,0) sonst

b) [mm] f(x,y)=\bruch{sin(x^3+y^4)}{x^2+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)} [/mm] und (0,0) sonst

c) [mm] f(x,y)=\bruch{x^2y}{x^4+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)} [/mm] und (0,0) sonst

(es tut mir leid, die case-Schreibweise wollte er partout nicht annehmen)

Auch das Thema stetigkeit ist gute 4 Jahre her. Ich muss denke ich zeigen, dass der Grenzwert der Funktion gegen den Funktionswert des gegebenen Punktes geht. Hier also, dass [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm] gegen f(0,0) geht. Sollte für der Punkt (0,0) den Funktionswert 1 haben, so muss der Grenzwert dann gegen 1 gehen. Richtig?

Ich hab noch nie den Grenzwert von ner Funktion mit 2 unbekannten berechnet. Der Übungsleiter hatte hier die Polarkoordinaten eingesetzt und dann r gegen die Stelle laufen lassen. Kann man den Grenzwert mit 2 variablen auch anders berechnen?

a) [mm] x=r*cos\phi [/mm] ; [mm] y=r*sin\phi [/mm]
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{3r^3cos^2\phi * sin\phi-r^3*sin^3\phi}{r^2})= [/mm] 0

es strebt gegen den wert und ist damit in dem Punkt stetig

[mm] b)\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{sin(r^3cos^3\phi + r^4sin^4\phi)}{r^2}) \le \limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{r^3cos^3\phi + r^4sin^4\phi}{r^2})=0 [/mm]

ist auch stetig in dem Punkt

c) [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{r^3cos^2\phi * sin\phi}{r^3(r*cos^4\phi + \bruch{sin^2\phi}{r})}) [/mm] = [mm] \bruch{cos^2\phi * sin\phi}{\infty}=\infty [/mm]

die Funktion ist nicht stetig in (0,0). reicht das so?

        
Bezug
Stetigkeit bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Di 07.12.2010
Autor: statler

Hallo!

> Entscheiden Sie, ob die Funktionen im Punkt (0,0) stetig
> sind:
>  a) f(x,y)= [mm]\bruch{3x^2y-y^3}{x^2+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)}[/mm]
> und (0,0) sonst
>  
> b) [mm]f(x,y)=\bruch{sin(x^3+y^4)}{x^2+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)}[/mm]
> und (0,0) sonst
>  
> c) [mm]f(x,y)=\bruch{x^2y}{x^4+y^2}, \mbox{für (x,y) \not= (0,0)}[/mm]
> und (0,0) sonst
>  
> (es tut mir leid, die case-Schreibweise wollte er partout
> nicht annehmen)
>  Auch das Thema stetigkeit ist gute 4 Jahre her.

Die Ausrede zieht nicht.

> Ich muss
> denke ich zeigen, dass der Grenzwert der Funktion gegen den
> Funktionswert des gegebenen Punktes geht. Hier also, dass
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)[/mm] gegen f(0,0) geht.
> Sollte für der Punkt (0,0) den Funktionswert 1 haben, so
> muss der Grenzwert dann gegen 1 gehen. Richtig?
>  
> Ich hab noch nie den Grenzwert von ner Funktion mit 2
> unbekannten berechnet. Der Übungsleiter hatte hier die
> Polarkoordinaten eingesetzt und dann r gegen die Stelle
> laufen lassen. Kann man den Grenzwert mit 2 variablen auch
> anders berechnen?
>  
> a) [mm]x=r*cos\phi[/mm] ; [mm]y=r*sin\phi[/mm]
>  [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{3r^3cos^2\phi * sin\phi-r^3*sin^3\phi}{r^2})=[/mm]
> 0
>  
> es strebt gegen den wert und ist damit in dem Punkt stetig
>  
> [mm]b)\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{sin(r^3cos^3\phi + r^4sin^4\phi)}{r^2}) \le \limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{r^3cos^3\phi + r^4sin^4\phi}{r^2})=0[/mm]
>  
> ist auch stetig in dem Punkt
>  
> c) [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=\limes_{r \rightarrow 0_{+}}(\bruch{r^3cos^2\phi * sin\phi}{r^3(r*cos^4\phi + \bruch{sin^2\phi}{r})})[/mm]
> = [mm]\bruch{cos^2\phi * sin\phi}{\infty}=\infty[/mm]

Bei c) müßtest du noch mal etwas in dich gehen. So stimmt die letzte Gleichung jedenfalls nicht. Und ist das von [mm] \phi [/mm] unabhängig?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Di 07.12.2010
Autor: celeste16

ok. erstmal: gäbe es einen anderen weg diese Art von Aufgaben ohne die Substitution zu lösen?

ich habe jetzt gelesen, dass [mm] \phi [/mm] für r=0 einen beliebigen Wert annehmen kann, der aber meist 0 gesetzt wird. dann hätte ich ja beim Grenzwert [mm] \bruch{0}{0+\infty} [/mm] stehen. klingt ja irgendwie nach l'hopital, aber ich wüsste nicht wie ich den hier einsetzen könnte...

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit bestimmen: kein de l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Di 07.12.2010
Autor: Loddar

Hallo celeste!


Du hast Null Euro und sollst diese auf unendlich viele Leute verteilen.
Wieviel erhält jeder?


Gruß
Loddar


Bezug
                                
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Stetigkeit bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Di 07.12.2010
Autor: celeste16

nichts. damit wäre sie ja stetig. in der übung wurde aber durch ein Gegenbeispiel gezeigt dass sie nicht stetig ist...

Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Di 07.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo celeste16,

> nichts. damit wäre sie ja stetig. in der übung wurde aber
> durch ein Gegenbeispiel gezeigt dass sie nicht stetig
> ist...

Sprichst du von c)?

Wie ist denn der Funktionswert für [mm](x,y)=(0,0)[/mm] definiert?

[mm]f(0,0)=0[/mm], nehme ich an?

Mit der Umrechnung in Polarkoordinaten und der Einsicht, dass das nicht unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]f(0,0)[/mm] strebt, kommt man auf die Idee, die Stetigkeit zu widerlegen.

Was liegt da näher, als das Folgenkriterium zu bemühen?

Es genügt eine einzige Folge [mm](x_n,y_n)[/mm] anzugeben, die gegen [mm](0,0)[/mm] strebt, wo aber [mm]f(x_n,y_n)[/mm] nicht gegen [mm]f(0,0)[/mm] konvergiert.

Aufgrund des gegebenen Funktionsterms und der Potenzen kommt man doch durch etwas Bastelei schnell zu etwa:

[mm](x_n,y_n)=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)[/mm]


Das Ding geht für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm](0,0)[/mm].

Was treibt [mm]f(x_n,y_n)[/mm] ?


Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Stetigkeit bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Di 07.12.2010
Autor: celeste16

ich erhhalte [mm] limn^2 [/mm] also gegen unendlich.

aber wie soll ich loddars und statlers kommentar bewerten? worauf wollten sie eigentlich hinaus?

Bezug
                                                        
Bezug
Stetigkeit bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Di 07.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> ich erhhalte [mm]limn^2[/mm] also gegen unendlich.

???

Rechne vor! Ich komme auf [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm]

Aber ich wiederhole die Frage:

Wie sind in a) bis c) die Funktionen in $(0,0)$ definiert?

$f(0,0)=?????$


>  
> aber wie soll ich loddars und statlers kommentar bewerten?
> worauf wollten sie eigentlich hinaus?

Das sollen sie dir beantworten ;-)

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                
Bezug
Stetigkeit bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:24 Mi 08.12.2010
Autor: celeste16

hab für das untere [mm] y^2 [/mm] nur [mm] 1/n^2 [/mm] eingesetzt gehabt. nochmal mit besserer Konzentration und ich schließe mich dir an.

ja, f(0,0) sollte je = 0 sein.

ich danke dir :)

Bezug
                                                        
Bezug
Stetigkeit bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Mi 08.12.2010
Autor: statler

Hallo!

> aber wie soll ich loddars und statlers kommentar bewerten?
> worauf wollten sie eigentlich hinaus?

Ich wollte auf folgende Bem. von schachuzipus hinaus:
Mit der Umrechnung in Polarkoordinaten und der Einsicht, dass das nicht unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] gegen [mm]f(0,0)[/mm] strebt, kommt man auf die Idee, die Stetigkeit zu widerlegen.
Die Abschätzung ist eben nicht unabh. von [mm] \phi. [/mm]

Gruß
Dieter



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