Stetigkeit best. Epsilon-Delta < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Alex192 |
| Aufgabe | g : [mm] \IR \to \IR ,g(x)=\begin{cases} x sin\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = 0 |
Ich soll die Stetigkeit mithilfe des Epsilon-Delta Verfahrens zeigen. Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich nach dem Schritt : |g(x) - [mm] g(x_0)| [/mm] = |x sin(1/x) - 0| weitermachen soll. Ist |x sin(1/x) - 0| jetzt kleiner als epsilon oder kleiner als delta ? Ich wäre schon froh über einen eine kleine und bevorzugt leicht verständliche Erklärung des Epsilon-Delta Verfahrens
MfG Alex
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Hiho,
also verinfacht gesagt kannst du das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Verfahren [/mm] als ein Spiel sehen der Form "finde zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] dein [mm] $\delta$.
[/mm]
Meist versucht man den Ausdruck $|f(x) - [mm] f(x_0)|$ [/mm] so abzuschätzen, dass man irgendwann nur noch einen Ausdruck in Abhängigkeit von [mm] $|x-x_0|$ [/mm] hat, also so in der Art:
$|f(x) - [mm] f(x_0) \le \ldots \le \text{const.} [/mm] * [mm] |x-x_0|$
[/mm]
Da die Aufgabe ja dann lautet: "Finde zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $\delta$" [/mm] und man "einfach"
[mm] $\delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{\text{const.}}$ [/mm]
setzen kann und man erhält:
$|f(x) - [mm] f(x_0) \le \ldots \le \text{const.} [/mm] * [mm] |x-x_0| \le \text{const.}*\bruch{\varepsilon}{\text{const.}} [/mm] = [mm] \varepsilon$
[/mm]
da ja [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{\text{const.}}$ [/mm] gilt und man dann schön die gewünschte Ungleichung
$|f(x) - [mm] f(x_0) \le \varepsilon$
[/mm]
erhält.
Soweit erstmal zum "generellen" Vorgehen. Ein Patentrezept gibt es natürlich nicht und es wird immer wieder Aufgaben geben, wo es nicht so leicht wird oder man die richtige Idee braucht, aber grob umrissen passt das schon.
Nun zu deiner Aufgabe: Interessant ist da ja nur die Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$ (die hattest du dir ja auch rausgesucht). Den restliche Definitionsbereich kannst du ja anders begründen (wie?).
Du hattest bereits: $|f(x) - f(0)| = [mm] \left|x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right) - 0\right| [/mm] = [mm] \left|x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right) \right| [/mm] = |x| * [mm] \left|\sin\left(\bruch{1}{x}\right) \right|$
[/mm]
Was weißt du denn nun über [mm] $\sin(x)$, [/mm] insbesondere den Wertebereich?
Schätze dann also [mm] \left|\sin\left(\bruch{1}{x}\right) \right| [/mm] nach oben ab und bedenke, dass $|x| = |x - 0| = |x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] hier schönerweise gilt und schon bist du fertig.
Wie solltest du also dein [mm] \delta [/mm] wählen?
Gruß,
Gono.
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