Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe.
Folgende Funktion soll auf Stetigkeit untersucht werden.
f(x,y) [mm] =\begin{cases} \bruch{e^y - 1}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Habe mir folgendes dazu überlegt. Für (x,y) [mm] \not= [/mm] 0,0 ist die Funktion stetig da sie aus einem Quotient aus stetigen Funktionen bestehen.
Für x->0 ist [mm] f=\bruch{e^y - 1}{y^2} [/mm] und für y->0 [mm] \bruch{e^y - 1}{y^2}. [/mm] Diese sind somit nicht gleich also ist f für (x,y)=(0,0) nicht stetig.
Kann man so argumentieren ?
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Do 09.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> folgende Aufgabe.
> Folgende Funktion soll auf Stetigkeit untersucht werden.
> f(x,y) [mm]=\begin{cases} \bruch{e^y - 1}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Habe mir folgendes dazu überlegt. Für (x,y) [mm]\not=[/mm] 0,0 ist
> die Funktion stetig da sie aus einem Quotient aus stetigen
> Funktionen bestehen.
das ist okay so. Man könnte das ganze noch ein wenig detaillierter erläutern, indem man z.B. die Stetigkeit von $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] und $+: [mm] \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] (jeweils mit der entsprechenden euklidischen Metrik ausgestattet) ins Spiel bringt. Aber Dein Argument ist jedenfalls okay.
> Für x->0 ist [mm]f=\bruch{e^y - 1}{y^2}[/mm] und für y->0
> [mm]\bruch{e^y - 1}{y^2}.[/mm] Diese sind somit nicht gleich also
> ist f für (x,y)=(0,0) nicht stetig.
> Kann man so argumentieren ?
Schreibe hier nochmal genauer auf, was Du meinst. Wenn die Funktion nicht stetig in $(0,0)$ ist, dann kannst Du eine Folge [mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] im [mm] $\IR^2$ [/mm] finden, so dass zwar [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$ (was genau dann der Fall ist, wenn sowohl [mm] $x_n \to [/mm] 0$ als auch [mm] $y_n \to [/mm] 0$) angeben, aber [mm] $f(x_n,y_n) \not \to 0=f(0,0)\,.$
[/mm]
Es ist jedenfalls oben so, dass
[mm] $$\lim_{x \to 0}\lim_{y \to 0}f(x,y)=\lim_{x \to 0}0=0\,.$$
[/mm]
Aber es gilt auch
[mm] $$(0,\;1/n) \to [/mm] (0,0) [mm] \in \IR^2\,,$$
[/mm]
aber es ist [mm] $f((0,\;1/n))=f(0,\;1/n)=n^2*\big(e^{1/n}-1\big)\,.$
[/mm]
Nun kannst Du entweder versuchen, mithilfe der Funktion $x [mm] \mapsto x^2*\big(e^{1/x}-1\big)$ [/mm] ($x > 0$) zu begründen, dass [mm] $f(0,\;1/n) \to \infty$ [/mm] (und damit insbesondere [mm] $f(0,\;1/n) \not\to [/mm] (0,0)$), oder Du benutzt die Abschätzung [mm] $e^y-1 \ge [/mm] y$ ($y [mm] \ge [/mm] 0$) für [mm] $y=y_n=1/n$, [/mm] um einzusehen, dass [mm] $f(0,\;1/n) \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Danke erstmal für deine Antwort. Meinte damit dass wenn x-> 0 geht erhalte ich einen anderen Grenzwert als wenn y-> 0 geht. Somit ist die Funktion nicht stetig.
Wie soll ich denn so eine Folge finden ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke erstmal für deine Antwort. Meinte damit dass wenn
> x-> 0 geht erhalte ich einen anderen Grenzwert als wenn y->
> 0 geht.
ich versteh' trotzdem gerade weder die Frage noch den Sinn dahinter. (Bitte nicht falsch auffassen, es ist wirklich einfach nur als Feststellung meinerseits gemeint, nicht als Wertung!)
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $(0,0)\,,$ [/mm] dann muss aus $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ schon $f(x,y) [mm] \to [/mm] f(0,0)$ folgen (vgl. etwa ![[]](/images/popup.gif) Satz 10.7). Im [mm] $\IR^2$ [/mm] (mit euklidischer Metrik versehen) heißt $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ nicht, dass erst $x [mm] \to [/mm] 0$ und dann $y [mm] \to [/mm] 0$ laufen gelassen wird, und auch nicht, dass erst $y [mm] \to [/mm] 0$ und dann $x [mm] \to [/mm] 0$ laufen gelassen wird. Sowas macht man bei den iterierten Grenzwerten. Es heißt nur, dass sowohl $x [mm] \to [/mm] 0$ als auch $y [mm] \to [/mm] 0$ gilt (vgl. etwa Bemerkung 8.17). Z.B. könnte ja $y=x$ sein und dann $x [mm] \to [/mm] 0$ gelten, dann folgte $(x,y)=(x,x) [mm] \to [/mm] (0,0)$, oder auch [mm] $y=\sqrt{|x|}$ [/mm] und $x [mm] \to [/mm] 0$, dann folgte [mm] $(x,\sqrt{|x|}) \to [/mm] (0,0)$ oder oder oder...
Und wenn Du Dir mal Punkte $(x,y)$ im kartesischen Koordinatensystem, welches den [mm] $\IR^2$ [/mm] vertrete, einzeichnest, dann siehst Du doch, dass Du verdammt viele Möglichkeiten hast, "Punkte $(x,y)$ des [mm] $\IR^2$ [/mm] gegen $(0,0)$ laufen zu lassen"...
> Somit ist die Funktion nicht stetig.
> Wie soll ich denn so eine Folge finden ?
Ich hab' Dir doch eine hingeschrieben:
[mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n:=0$ [/mm] und [mm] $y_n:=1/n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$), [/mm] d.h. [mm] $\big((x_n,y_n)\big)_n\equiv\big((0,\,1/n)\big)_n$ [/mm] erfüllt [mm] $(x_n,y_n)=(0,\,1/n) \to [/mm] (0,0)$ bei $n [mm] \to \infty\,,$ [/mm] aber es gilt (für Deine oben angegebene Funktion [mm] $f\,$) [/mm]
[mm] $$f(x_n,\,y_n)=\blue{f(0,\,1/n) \to \infty} \not=0=f(0,0)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty\,,$$
[/mm]
insbesondere damit natürlich [mm] $f(x_n,y_n) \not\to 0=f(0,0)\,.$
[/mm]
Und das letztstehende blaugeschriebene solltest Du noch beweisen, und wie Du das beweisen kannst, steht doch auch bei mir im Post oben. Du findest dort sogar eine Alternative.
Gruß,
Marcel
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Habe eine Lösung zu der Aufgabe in einem Buch gefunden , da steht :
"f ist für alle (x,y) [mm] \not=(0,0) [/mm] stetig,in (0,0) nicht stetig: Längs der y-Achse(x=0) ist [mm] f(0,0)=(e^y-1)^-y2^{ wenn y \not=0} [/mm] für y->0 nicht konvergent,f also in (0,0) nicht stetig "
Soweit ich das erkennen kann wurde hier das selbe gemacht wie ich gemacht habe. Die Begriffe die du erwähnst wie iterische oder Euklidischer sagen mir leider nichts und haben wir auch nicht in der Uni gemacht.
Was nun ?
Was muss mann denn in Worten gesprochen machen um die Stetigkeit zu betrachten bei Funktionen mehrer Veränderlicher wenn mein Vorgehen und dass aus dem Buch ja falsch sind ?
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> Habe eine Lösung zu der Aufgabe in einem Buch gefunden ,
> da steht :
>
> "f ist für alle (x,y) [mm]\not=(0,0)[/mm] stetig,in (0,0) nicht
> stetig: Längs der y-Achse(x=0) ist [mm]f(0,0)=(e^y-1)^-y2^{ wenn y \not=0}[/mm]
> für y->0 nicht konvergent,f also in (0,0) nicht stetig "
Hallo,
ich kann die Funktion leider nicht richtig lesen, bzw. verstehen.
Du hattest ja in deiner Aufgabe
f(x,y) $ [mm] =\begin{cases} \bruch{e^y - 1}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{} \end{cases} [/mm] $.
Gruß v. Angela
Wenn Du zeigen möchtest, daß diese Funktion stetig ist, wäre zu zeigen, daß, egal aus welcher Richtung eine Folge [mm] (x_n, y_n) [/mm] sich dem Punkt (0,0) nähert, auch die Folge der Funktionswerte gegen f(0,0)=0 geht.
Willst Du zeigen, daß sie nicht stetig ist, so brauchst Du eine Folge, die gegen (0,0) geht, deren Funktionswerte aber nicht gegen f(0,0) laufen.
Diese Folge bist Du bisher schuldig geblieben...
Du schreibst
>>>>> Für x->0 ist $ [mm] f=\bruch{e^y - 1}{y^2} [/mm] $ und für y->0 [mm] \quad [/mm] $ [mm] \bruch{e^y - 1}{y^2}. [/mm] $ Diese sind somit nicht gleich.
Für mich sieht das verflixt gleich aus...
Aber der Grenzwert sollte ja irgendeineZahl sein, und die müßtest Du zumindest (nachvollziehbar) angeben.
Du kannst und mußt hier vorrechnen, daß man, wenn man entlang der y-Achse kommt, nicht den Grenzwert 0 erhält .
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> Willst Du zeigen, daß sie nicht stetig ist, so brauchst Du
> eine Folge, die gegen (0,0) geht, deren Funktionswerte
> aber nicht gegen f(0,0) laufen.
>
> Diese Folge bist Du bisher schuldig geblieben...
besser: solch eine Folge ist er bisher schuldig geblieben. Aber ich habe eine solche bereits zweimal hingeschrieben, ich weiß nicht, wie oft ich das wiederholen soll, bis diese mal nicht mehr ignoriert wird:
[mm] $$(\star)\;\;\;\big((0,\,1/n)\big)_{n \in \IN}\;\;\text{ tut's.}$$ [/mm]
> Du schreibst
>
> >>>>> Für x->0 ist [mm]f=\bruch{e^y - 1}{y^2}[/mm] und für y->0
> [mm]\quad[/mm] [mm]\bruch{e^y - 1}{y^2}.[/mm] Diese sind somit nicht
> gleich.
>
> Für mich sieht das verflixt gleich aus...
> Aber der Grenzwert sollte ja irgendeineZahl sein, und die
> müßtest Du zumindest (nachvollziehbar) angeben.
>
> Du kannst und mußt hier vorrechnen, daß man, wenn man
> entlang der y-Achse kommt, nicht den Grenzwert 0 erhält .
>
> Gruß v. Angela
Ja, er kann natürlich auch die Punkte $(0,y)$ betrachten und dann $y [mm] \to [/mm] 0$ laufen lassen. Wenn man "nur" $y [mm] \to [/mm] 0+$ laufen läßt, erhält man speziell für [mm] $y=y_n=1/n$ [/mm] gerade die Folge [mm] $(\star)\,.$
[/mm]
Nur der Ergänzung wegen.
Und @ tunetemptation:
Was iterierte Grenzwerte sind, kannst Du eigentlich nachschlagen oder Dir mal aus meinem ersten Beitrag überlegen. Aber das ist an dieser Stelle nicht so wichtig, ich denke, es lag' da eher eine ungünstige Formulierung Deinerseits vor, die mich dazu brachte, diesen Begriff zu erwähnen.
Und die euklidische Metrik im [mm] $\IR^2$ [/mm] ist quasi die "Anschauungsmetrik" im kartesischen Koordinatensystem, Berechnung mit Pythagoras:
Für $(q,r), (s,t) [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist [mm] $d((q,r),\,(s,t)):=\sqrt{(s-q)^2+(t-r)^2}\,.$ [/mm] Dann ist die Abbildung $d: [mm] \IR^2 \times \IR^2 \to \IR$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $\IR^2\,.$ [/mm]
Und es gilt:
Ist [mm] $(\text{x}_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge im [mm] $\IR^2$ [/mm] (d.h. [mm] $\text{x}_n=(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n,\;y_n \in \IR$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)), [/mm] so gilt [mm] $\text{x}_n \to [/mm] (0,0)$
[mm] $\gdw$ $d(\text{x}_n,\,(0,0)) \to [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ $d((x_n,y_n),\,(0,0)) \to [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ $\sqrt{(x_n-0)^2+(y_n-0)^2} \to [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ $\sqrt{x_n^2+y_n^2} \to [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ $x_n \to [/mm] 0$ und [mm] $y_n \to 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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