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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit
Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Mi 14.01.2015
Autor: black_jaguar

Aufgabe 1
Untersuche auf Stetigkeit
f: [mm] \IR\to\IR [/mm]
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{x^3+x^2-x-1}{x-1}, & \mbox{für } x \not =1 \\ 0, & \mbox{für } x=1 \end{cases} [/mm]


Aufgabe 2
Untersuche auf Stetigkeit
f: (-1,1) [mm] \to\IR [/mm]
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{1-\wurzel{1-|x|}}{x}, & \mbox{für } x \not =0 \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm]


Aufgabe 3
Untersuche auf Stetigkeit
f: [mm] \IR\to\IR [/mm]
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{1}{x}-ceil(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not =0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm]
ceil := Aufrundungsfunktion


Aufgabe 4
Untersuche auf Stetigkeit
f: [mm] \IR\to\IR [/mm]
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{x^2-3x+2}{exp(x^2+exp(x^2)-1)+1}, & \mbox{für } x \not =0 \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm]


Erlichgesagt verstehe ich Stetigkeit noch nicht würcklich bzw wie man sie auf Uniniveau zeigt. Muss aber bis morgen diese Aufgaben rechnen.
Könnte mir einer helfen mit der Stetigkeit. Vor allem irgendwie mit den Ansetzen wie ich jeweils an diese Aufgaben rangehe. (Vorallem hab ich mitbekommen das die Lösungsweg verschieden ist bei den 4 Aufgaben)

        
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Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Mi 14.01.2015
Autor: chrisno

Mein üblicher Vorschlag: schreib die Definition der Stetigkeit hin. Dann wird für Aufgabe 1 untersucht, ob die Bedingung erfüllt ist.

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Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Mi 14.01.2015
Autor: leduart

Hallo
bei 1) klammer in Zähle (x-1) aus, dann ist es leicht.
bei 2) einfach rechnen, Taylor für die Wurzel
bei 3 )weiss ich nicht, was ceil ist was ist etwa für x=0.01 ceil(1/x)=ceil(100)
bei 4) kann man, wenn du das richtig geschrieben hat 0 einsetzen
[mm] exp(0+e^0-1)+1=2 [/mm] im Zähler auch 2 also f(0)=1
Gruß leduart

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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Mi 14.01.2015
Autor: black_jaguar

ceil ist die Aufrundungsfunktion.

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Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Mi 14.01.2015
Autor: chrisno

Aus Wikipedia: Für eine reelle Zahl x ist [mm] $\lceil [/mm] x [mm] \rceil$ [/mm] die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist. [mm] $\lceil [/mm] x [mm] \rceil:=\min \{k\in\Z \mid k\ge x\} [/mm] $

Du hast sicher Sätze über stetige Funktionen. Diese sollst Du vermutlich anwenden. Damit kannst Du schon den größten Teil des Definitionsbereichs abdecken. Dann kommen nur noch die einzelnen Punkte dazu. Wie geschrieben, fang mit Aufgabe 1 an.

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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Mi 14.01.2015
Autor: black_jaguar

A1: Also hab jetzt zusammengefasst: [mm] f(x)=(x+1)^2= x^2+2x+1 [/mm] . Also kann ich jetzt über die stetigkeit der einzehlnen Summanten argumentieren das die Funktion stetig ist. Und muss jetzt die Rechtseitigen und Linkseitigen Grenzwert betrachten für x=1

[mm] \limes_{n\rightarrow\ 1+} \bruch{x^3+x^2-x-1}{x-1}= \limes_{n\rightarrow\ 1+}(x+1)^2=4 [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\ 1-} \bruch{x^3+x^2-x-1}{x-1}=limes_{n\rightarrow\ 1-}(x+1)^2=4 [/mm]

Ist das so richtig?

Bezug
                        
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Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:48 Mi 14.01.2015
Autor: chrisno

Ich muss Schluss machen. Da gibt es noch einiges zu klären, Du kommst aber zum Ziel. Was ist nun Deine Folgerung: stetig oder nicht stetig?

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Bezug
Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:51 Mi 14.01.2015
Autor: black_jaguar

stetig auf ganz [mm] \IR [/mm]

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Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Do 15.01.2015
Autor: chrisno


> A1: Also hab jetzt zusammengefasst: [mm]f(x)=(x+1)^2= x^2+2x+1[/mm]

Das ist der vereinfachte Term für $x [mm] \ne [/mm] 1$.

> Also kann ich jetzt über die stetigkeit der einzehlnen
> Summantden argumentieren das die Funktion stetig ist.

Damit ist die Ausgangsfunktion schon mal stetig für alle $x [mm] \ne [/mm] 1$.

> Und muss jetzt die Rechtseitigen und Linkseitigen Grenzwert
> betrachten für x=1
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 1+} \bruch{x^3+x^2-x-1}{x-1}= \limes_{n\rightarrow\ 1+}(x+1)^2=4[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 1-} \bruch{x^3+x^2-x-1}{x-1}=limes_{n\rightarrow\ 1-}(x+1)^2=4[/mm]
>  
> Ist das so richtig?

Die kannst Du so machen. Allerdings argumentiere ich lieber so: [mm]g(x)=(x+1)^2= x^2+2x+1[/mm] ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert und stetig und nimmt in x = 1 den Wert 4 an.

Nun komme ich zu Deinem "stetig auf ganz $ [mm] \IR [/mm] $". Schau Dir noch einmal die Definition von f(x) an.



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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Mi 14.01.2015
Autor: black_jaguar

Das mit Taylor und der Wurzel verstehe ich nicht so richtig. Kannst du genauer erklären, bitte.

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Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:05 Do 15.01.2015
Autor: chrisno

Du suchst wieder die Grenzwerte, in diesem Fall für $x [mm] \to [/mm] 0$. Allerdings kannst Du nicht Zähler und Nenner getrennt betrachten. Irgendwie musst Du das x aus dem Nenner kürzen. Dazu brauchst Du ein passendes x im Zähler. Dies steckt noch unter der Wurzel. Um es aus der Wurzel zu befreien wurde die Taylorentwicklung der Wurzel vorgeschlagen.

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