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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Guten Abend
Die aufgaben mit denen ich probleme habe, lauten:
1) sei f(x)=x^{\wurzel{x}} für x>0 und f(0)=1
ist die funktion auf dem intervall [0,+\infty) stetig?
Ich habe die def. benutzt: f(x)-f(a)= x^{\wurzel{x}}-a^{\wurzel{a}}
Ich habe ja die vorauss. x-a< \delta. Gilt dann insbesondere x^{\wurzel{x}}-a^{\wurzel{a} < \delta^{\delta}
Darf ich das so machen und daraus jetzt die Stetigkeit folgern.
2)a) Gibt es für jede stetige Funktion f:[0,2]->[0,1] eine zahl a \in [0,2] mit f(a)=2a? Beweis oder Gegenbsp.
b) Gibt es für jede stetige Funktion f:[0,2]->[0,1] eine zahl b \in [0,2] mit f(b)=\bruch{1}{2}b? Beweis oder Gegenbsp.
ZU der aufgabe fällt mir nur ein, dass f ja stetig auf einem kompaten intervall ist, daher sein max und min annimmt. aber wie ich die aussagen beweisen soll ist mir unklar.
mfg
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moin,
Zu Aufgabe 1):
Wie genau ist [mm] $x^a$ [/mm] für eine irrationale Zahl $a$ (denn solche können ja durchaus auftreten) definiert?
Nimm dir diese Definition, setze ein und dann dürftest du schon etwas klarer sehen.
Zu Aufgabe 2):
Wie du ja schon richtig geschrieben hast, ist hier der Zwischenwertsatz sehr hilfreich.
Betrachte dir als Hilfsfunktionen:
[mm] $g_1(x) [/mm] = f(x)-2x$
[mm] $g_2(x) [/mm] = f(x) - x/2$
Überlege dir, wie du mit dem Zwischenwertsatz zeigen kannst, dass diese beiden Funktionen (mindestens) eine Nullstelle im Intervall $[0,2]$ haben und wieso daraus die zu zeigende Aussage folgt.
Sollte in nächster Zeit eine Klausur ins Haus stehen würde ich dir raten, dir diesen Aufgabentyp gut zu merken, denn solche oder ähnliche Aufgaben tauchen sehr oft auf und sind fast immer mit einer geeigneten Hilfsfunktion und dem Beweis, dass diese eine Nullstelle hat, zu lösen.
lg
Schadow
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Danke auch für den Tipp. a) def. g(x)= f(x)-2x
g ist als zusammensetzung stetiger funktionen stetig auf dem kompakten intervall, daher nimmt g sein max und min an.
falls max=min-> g(x)=0 -> f(x)=2x
falls max [mm] \le [/mm] min -> g(x) [mm] \le [/mm] 0 , also f(x)-2x [mm] \le [/mm] 0
falls max [mm] \ge [/mm] min -> g(x) [mm] \ge [/mm] 0 , also f(x)-2x [mm] \ge [/mm] 0
Aus dem ZWS folgt nun dass f(x)-2x=0 also f(x)=2x
Stimmt das so, ich habe große probleme mit dem ZWS, daher wirds wohl nicht stimmen
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Ne, du vermischst hier zwei Sätze.
Den Satz, den du benutzt, ist der Satz von Maximum und Minimum.
Der Zwischenwertsatz besagt:
Sei $f: D [mm] \to \IR$, [/mm] $D [mm] \subseteq \IR$ [/mm] stetig, $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a<b$ und $f(a)<0<f(b)$.
Dann gibt es ein $x [mm] \in [/mm] (a,b)$ mit $f(x) = 0$.
Also in Worten:
Ist eine stetige Funktion irgendwo kleiner Null und irgendwo größer, so muss die Funktion dazwischen (mindestens) eine Nullstelle haben.
Ich mach dir mal als Beispiel die a):
Wir nehmen hier:
$g(x) = f(x) - 2x$.
Gibt es nun ein $x [mm] \in [/mm] [0,2]$ sodass $g(x) = 0$, so ist die Aussage gezeigt, denn dann kann das ganze so umgestellt werden, dass da $f(x) = 2x$ steht.
Betrachte x=0.
Da der Wertebereich von $f$ [0,1] ist, muss $f(0)>= 0$ gelten.
Angenommen $f(0)=0$.
Dann ist $g(0) = f(0) - 2*0 = 0-0 = 0$, $g$ hat also eine Nullstelle und wir sind fertig.
Sei also im folgenden $f(0)>0$.
Dann ist $g(0) = f(0)-2*0 = f(0) > 0$.
Nun betrachte $x=2$.
Da der Wertebereich von $f$ [0,1] ist, ist $f(2) [mm] \leq [/mm] 1$.
Also ist:
$g(2) = f(2) - 2*2 = f(2) - 4 [mm] \leq [/mm] 1 - 4 = -3$
$g(2)$ ist also auf jeden Fall negativ.
Somit ist die stetige Funktion $g$ also im Punkt 0 positiv und im Punkt 2 negativ, also muss sie irgendwo dazwischen eine Nullstelle haben; und damit ist die geforderte Aussage gezeigt.
Versuch mal, ob du die b) hinbekommst.
lg
Schadow
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Ok, dann versuch ich mal die b)
[mm] g(x)=f(x)-\bruch{1}{2}*x
[/mm]
x=0 der Wertebereich hier ist auch [0,1] , daher gilt auch f(0)>=0
Ann. f(0)=0
Dann ist g(0) = f(0) - 1/2*0 = 0-0 = 0, g hat also eine Nullstelle und man ist fertig, daher f(0)>0, dann gilt g(0) = f(0)-1/2*0 = f(0) > 0
Nun x=2 der Wertebereich hier ist auch [0,1] , daher gilt auch f(2)=<1
g(2)=f(2)-2*2 [mm] \le [/mm] 1-4= -3, damit nimmt g auch negative Werte an und somit folgt nach dem ZWS (danke für die einfache Erklärung, habs jetzt verstanden), dass g eine Nullstelle hat.
Stimmts?
Vielen Dank nochmal
mfg
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Hmm, nicht ganz.
Du hast den zweiten Teil einfach nur kopiert und dort die 2 drinn gelassen, anstatt ein 1/2 draus zu machen.
Wenn du das änderst, musst du noch ein wenig basteln, aber davon abgesehen sieht es schon gut aus.
MfG
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Aber wenn ich doch für x=1/2 betrachte, heißt es doch f(1/2)=<1
Also g(1/2)=f(1/2)-1/2*1/2=< 1-1/4 und so habe ich doch keinen negativen wert. Ich habe die zwei gelassen, weil bei der b) x auch [mm] \in [/mm] [0,2] ist. Oder wie hätte ich das machen sollen?
Fast hätte ich die Stetigkeitsaufg. vergessen. Also ich komme das mit deinem Tipp nicht klar, warum soll ich mir den irrationale x betrachten?
mfg
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$g(x) = f(x) - x/2$
Setze doch erstmal einfach $x=2$ ein, ohne dass du $f$ abschätzt.
Zur ersten Aufgabe:
Was hat das ganze mit der $e$-Funktion zu tun?
Schreibe es dir damit hin und überlege dir dann, was du über Stetigkeit der $e$-Funktion und anderer auftretender Funktionen weißt.
lg
Schadow
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Also x=2 : g(2)=f(2)-1und nun?? Ich hatte doch schon x=2 eingesetzt. Tut mir leid, bin grade ein bisschen verwirrt.
Also [mm] x^{\wurzel{x}}
[/mm]
kann man ja auch als [mm] e^{\wurzel{x}*log(x)} [/mm] schreiben und somit ist f als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig. So??
mfg
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Setzt du $x=2$ ein, so steht da erstmal:
$g(2) = f(2) - 1$
Die Abschätzung ergibt nun:
$g(2) [mm] \geq [/mm] 1-1=0$
Du hast also nicht $>0$ sondern nur [mm] $\geq [/mm] 0$, musst also noch ein wenig argumentieren.
Die Funktion mit $e$ ist stetig für $x>0$, ja, aber für $x=0$ musst du dir noch etwas überlegen, denn der Logarithmus ist für $x=0$ nicht definiert.
MfG
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
zur 1) f(x)-f(0)= x^{\wurzel{x}}-1 hiernach fällt mir wieder nur ein den log zu benutzen also {\wurzel{x})*log(x)-log(1)= {\wurzel{x})*log(x) ab hier weiß ich dann gar nicht mehr weiter.
Muss ich eigentlich überhaußt x=0 zeigen, denn in der Aufgabenstellung steht x>0
und zu der anderen Aufgabe weiß ich nicht wie man da noch argumentieren soll.
mfg
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$f(0) = 1$, hast du doch selbst geschrieben.
Für $x>0$ ist das ganze stetig, ja.
Nun ist $f$ aber halt im Nullpunkt stückweise definiert, da stellt sich die Frage: Ist $f$ im Nullpunkt stetig?
Das heißt du musst noch den einen Punkt untersuchen.
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