Stetig differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mo 12.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Sei f(0) = 0 und f(x) = [mm] x^n [/mm] * [mm] sin(\bruch{1}{x} [/mm] für x [mm] \not= [/mm] 0. Für welche n [mm] \in \IN_0 [/mm] ist f im Nullpunkt differenzierbar bzw. stetig differenzierbar. |
Gute Frage - nächste Frage?
Hier musste ich mich schon sehr lange einlesen, bis ich überhaupt einen Denkansatz hatte, worauf die Aufgabe vielleicht hinauslaufen könnte.
Für x [mm] \rightarrow [/mm] 0 nimmt [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] alle Werte des Intervalls [-1,1] an - und zwar für den linken Grenzwert genauso wie für den rechten Grenzwert.
Also hängt alles von [mm] x^n [/mm] ab. für n = 0 steht da der Term
f(x) = [mm] sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Das ist in 0 weder stetig noch differenzierbar und schon gar nicht stetig differenzierbar.
für n = 1 haben wir
f(x) = [mm] x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow0+} x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0, [mm] \limes_{x\rightarrow0-} x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0, f(0) = 0.
f'(0) = 0 und f'(x) = [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] xcos(\bruch{1}{x}) [/mm]
Das ist in 0 nicht stetig, da linker und rechter Grenzwert von 0 nicht bestimmbar sind.
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist für n = 1 differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar.
SOLLTE dieser Weg der richtige sein, so ist mir auch der Rest der Aufgabe klar, wenn nicht, macht es wenig Sinn, hier weiter zu notieren.
Ergo: Bin ich auf dem Holzweg?
LG, Tobias
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Ich finde, das fängt gut an. Allerdings gibt es ja zwei mögliche Ausgänge in diesem Verlauf, und der andere zeigt sich bei [mm] n\ge2. [/mm] Mach doch mal einen dieser Fälle.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mo 12.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
So sieht meine weitere Bearbeitung dazu aus:
Erst einmal (zum eigenen Verständnis) noch den Fall n=2 ausgeschrieben...
n = 2:
f(x) = [mm] x^2 [/mm] * [mm] sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
f'(0) = 0, f'(x [mm] \not= [/mm] 0) = [mm] 2x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] x^2(cos(\bruch{1}{x}))
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0+} 2x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] x^2(cos(\bruch{1}{x})) [/mm] = 0, [mm] \limes_{x\rightarrow0-} 2x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] x^2(cos(\bruch{1}{x})) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] für n=2 ist f stetig differenzierbar.
Erkenntnis: für [mm] n\ge2 [/mm] ist f stetig differenzierbar, da in der Ableitung mit [mm] x^n [/mm] bzw. [mm] nx^{n-1} [/mm] Faktoren stehen bleiben, die für [mm] x\rightarrow0 [/mm] gegen 0 gehen und somit links- und rechtseitige Limites der Ableitung gegen 0 gehen...
Dies müsste ich jetzt noch "formelmäßig" verpacken.
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