Steinitzscher Austauschsatz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 14.01.2007 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Es ist v1, v2, v3, v4, v5 eine Basis von [mm] \IR^{5} [/mm] (nicht zeigen):
v1 = (1,-1, 0, 0, 0), v2 = (0, 1,-1, 2,-1), v3 = (0, 0, 1,-1, 0), v4 = (1, 0, 0, 0,-1), v5 = (-2, 0, -2, 0, 1).
Tauschen Sie nacheinander gemäß Steinitzschem Austauschsatz die Vektoren
w1 = (-1,-3, 0,-4, 3), w2 = (-1, 1,-11, 11,-1) gegen geeignete Vektoren der Basis v1, . . . , v5 aus, so dass die Basiseigenschaft erhalten bleibt. |
Hallo zusammen!
Habe ich obige Aufgabe richtig verstanden, dass ich w1 und auch w2 als Linearkombination einiger Vektoren aus v1 bis v5 darstellen soll?
Und wenn ja, wie kann ich das möglichst einfach und schnell machen, ohne stundenlang rumzuprobieren? Durch scharfes Hinsehen erkenne ich nämlich nicht, welche Vektoren aus v1 bi v5 beispielsweise w1 darstellen könnten. Noch dazu muss ja die Dimension dim = 5 erhalten bleiben, um die Basiseigenschaft weiter zu gewährleisten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank bereits im Vorraus für Eure Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 14.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
ja, die Darstellung von [mm] $w_1$ [/mm] durch [mm] $v_1,\ldots,v_5$ [/mm] ist schon mal der erste Schritt. Am sichersten geht das wohl, indem Du das lineare Gleichungssystem
[mm] $\underbrace{( v_1 \;\cdots\; v_n)}_{=: A}x [/mm] = [mm] w_1$
[/mm]
löst, wobei die Vektoren [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] spaltenweise in die Matrix $A$ geschrieben sind. Du erhälst eine Lösung $x [mm] \neq [/mm] 0$, mit der Du dann wie im Beweis des Austauschsatzes ein [mm] $v_j$, [/mm] $1 [mm] \leq [/mm] j [mm] \leq [/mm] 5$, bestimmen kannst, so daß [mm] $v_1,\ldots,v_{j-1},w_1,v_{j+1},\ldots,v_5$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IR^5$ [/mm] bilden. Dann machst Du das ganze mit dieser neuen Basis einfach noch mal.
Hoffe, das hilft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 14.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo unknown!
So ganz bin ich durch deine Erklärung noch nicht durchgestiegen. Ich habe jetzt das LGS wie von dir vorgeschlagen gelöst und erhalte als Lösung: [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }. [/mm] Also lässt sich mein [mm] w_{1} [/mm] darstellen als 1· [mm] v_{1} [/mm] - 2 · [mm] v_{2} [/mm] + 1 · [mm] v_{5}. [/mm] Aber was tausche ich jetzt weiter aus? Irgendwie hab ich das noch nicht so ganz verstanden. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Vielleicht kannst du mir ja noch mal auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mo 15.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ich hab dein Ergebnis nicht nachgerechnet, aber kannst du dich noch an deine eigene Aufgabe HIER erinnern?
du kannst [mm] w_1 [/mm] mit einem [mm] v_i [/mm] austauschen, wenn dieser in der Darstellung einen Koeffizient ungleich 0 hat.
also wegen [mm] $w_1=1* v_{1} [/mm] - 2 * [mm] v_{2} [/mm] + 1 * [mm] v_{5} [/mm] $
kannst du [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] oder [mm] v_5 [/mm] durch [mm] w_1 [/mm] ersetzen...
danach musst du dieselbe rechnung mit der neuen Basis (mit [mm] w_1) [/mm] rechnen.
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Fr 19.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo DaMenge,
hatte leider bisher keine Zeit mich bei dir zu bedanken und möchte dies hier noch schnell nachholen.
Nach deiner letzten Erklärung hab ich jetzt auch kapiert, was wie auszutauschen ist und habe dann den Rest auch selbst hinbekommen.
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