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Forum "Integralrechnung" - Stammfunktion bestimmen
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Stammfunktion bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Do 28.05.2015
Autor: Pokermocker

Hallo,

ich brauche für eine Übungsaufgabe die Stammfunktion der Funktion:

[mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{(2*\pi)}}\*\bruch{1}{(1+x^{2}/2)} [/mm]

Nun habe ich den ersten Faktor vor die Wurzel gezogen und den zweiten Faktor umgeschrieben zu : [mm] \bruch{2}{(2+x^{2})}. [/mm]

Ich weiß, dass die Stammfunktion von : [mm] \bruch{1}{(1+x^{2})} [/mm]
der Arkustangens ist.

Mein Problem ist, dass ich nicht erkenne, wie ich dieses Wissen nutzen kann um die Stammfunktion von [mm] \bruch{2}{(2+x^{2})} [/mm] zu berechnen. Vermutlich ist die Lösung super trivial und ich komme einfach nicht drauf... Aber stehe da gerade echt auf dem Schlauch. :(

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Do 28.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Tipp: [mm] $\bruch{x^2}{2} [/mm] = [mm] \left(\bruch{x}{\sqrt{2}}\right)^2$ [/mm]

substituiere also $y = [mm] \bruch{x}{\sqrt{2}}$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:15 Do 28.05.2015
Autor: Pokermocker

Vielen Dank!!

Komme dann mit meinem Integral auf:

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+y}*\wurzel{2}dy}=\limes_{y\rightarrow\infty}Arctan(y)*\wurzel{2}-\limes_{y\rightarrow-\infty}Arctan(y)*\wurzel{2}=(\bruch{\pi}{2}-\bruch{-\pi}{2})*\wurzel{2}=\pi*\wurzel{2} [/mm]

und somit für:

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*\bruch{1}{1+(x^{2}/2)}dx}=\bruch{\pi*\wurzel{2}}{\wurzel{2*\pi}}=\wurzel{\pi} [/mm]

Damit kann ich gut weiterarbeiten! :)

Bezug
        
Bezug
Stammfunktion bestimmen: Sprachgebrauch: EINE Stfkt...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Do 28.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> ich brauche für eine Übungsaufgabe die Stammfunktion der Funktion:

Vorsicht: Stammfunktionen sind nicht eindeutig. Daher sollte man nie von
DER Stammfunktion sprechen, sondern von EINER.

> [mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{(2*\pi)}}\*\bruch{1}{(1+x^{2}/2)}[/mm]
>  
> Nun habe ich den ersten Faktor vor die Wurzel gezogen und
> den zweiten Faktor umgeschrieben zu :
> [mm]\bruch{2}{(2+x^{2})}.[/mm]
>  
> Ich weiß, dass die Stammfunktion von :

S.o.!

> [mm]\bruch{1}{(1+x^{2})}[/mm]
> der Arkustangens ist.
>  
> Mein Problem ist, dass ich nicht erkenne, wie ich dieses
> Wissen nutzen kann um  die Stammfunktion von

S.o.!

> [mm]\bruch{2}{(2+x^{2})}[/mm] zu berechnen. Vermutlich ist die
> Lösung super trivial und ich komme einfach nicht drauf...
> Aber stehe da gerade echt auf dem Schlauch. :(

Bitte in Zukunft darauf achten (hier ist das nicht besonders schlimm, aber
später wirst Du damit Dich und andere verwirren, wenn Dir das nicht ganz
klar ist).

Gruß,
  Marcel

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