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Sei f eine Wahrscheinlichkeitsdichte mit
[mm] h_{1}(x) \leq [/mm] f(x) [mm] \leq h_{2}(x)
[/mm]
für zwei reellwertige Funnktionen [mm] h_{1} [/mm] und [mm] h_{2}.
[/mm]
Der Algorithmus lautet wie folgt:
(1) Erzeuge U [mm] \sim [/mm] U(0,1) und X [mm] \sim [/mm] g. setze W = MUg(X)
(2) Falls W [mm] \leq h_{1}(X), [/mm] setze Y=X STOP
(3) Falls W > [mm] h_{2}(X), [/mm] gehe zu 1
(4) Falls W [mm] \leq [/mm] f(X), setze Y=X STOP
(5) gehe zu 1
Definiere die Zufallsvariable [mm] \tau_{f} [/mm] durch
[mm] \tau_{f} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{\tau} 1_\{ h_{1}(X_{i}) < W_{i} \leq h_{2}(X_{i}\}))
[/mm]
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Man darf Satz von Wald nutzen:
[mm] E(\sum_{i=1}^{\tau} \psi(X_{i}) [/mm] = [mm] E(\tau)E(\psi(X_{1}))
[/mm]
falls [mm] X_{1},...,X_{n} [/mm] iid und [mm] \psi [/mm] messbar und [mm] \tau [/mm] eine Stoppzeit.
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Es geht um den Erwartungswert von [mm] \tau_{f}. [/mm]
Stimmt es, dass dies die Anzahl an Vergleichen mit f darstellt?
Meine weiteren Ansätze: Ich habe bisher mit Hinweis
[mm] E(\tau_{f}) [/mm] = [mm] E(\tau) E(1_\{ h_{1}(X_{1}) < W_{1} \leq h_{2}(X_{1})\}))
[/mm]
Stimmt das? Kann ich das so einfach in die Ungleichung übernehmen?
Es geht mir um den zweiten Term. Ist das nicht einfach die Wahrscheinlichkeit? Wenn ja, kann ich es doch als Differenz von zwei Wahrscheinlichkeiten schreiben oder?
Ich kriege dann z.B. für
[mm] P(MU_{1}g(X_{1}) \leq h_{2}(X_{1})) [/mm] = ... [mm] \frac{1}{M} \int h_{2}(x) [/mm] dx.
Kann das sein?
Vielen lieben Dank für jede Hilfe.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 19.05.2021 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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