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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Mi 25.07.2012 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Ich frage mich gerade, ob es verschiedene Arten von Spurpunkten gibt?
Und ob dies auch auf Spurgeraden zutrifft.
Ein Thema, das mich immer wieder verwirrt (hat), weil es in verschiedenen Büchern unterschiedlich dargestellt wird. |
Zu Spurpunkten habe ich folgende Definitionen gefunden:
Definition 1
Spurpunkte sind Schnittpunkte einer Ebene E mit den Koordinatenachsen.
Bsp.
E: 2x +5y -2z -10 = 0
Um die Spurpunkte zu bestimmen, setzt man (jeweils) die anderen beiden Koordinaten gleich null...
Schnittpunkt mit der x-Achse, Spurpunkt [mm] s_x [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] s_y [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
[mm] s_z [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -5}
[/mm]
Definition 2
Spurpunkte sind Schnittpunkte einer Geraden g mit einer Koordinatenebene.
Bsp.
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] r*\vektor{2 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Um die Spurpunkte zu bestimmen, setzt man (jeweils) die dritte Komponente gleich null...
Schnittpunkt mit der xy_Ebene, Spurpunkt [mm] s_{xy}, [/mm] dazu setzt man z=0
=> 0 = 2 + r bzw. r = -2
[mm] s_{xy} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ -6 \\ 0}
[/mm]
Zu Spurgeraden
1. Weg
Man verbindet zwei Spurpunkte nach Definition 1 zu einer Geraden.
Diese müsste dann in der entsprechenden Koordinatenebene liegen, richtig?
2. Weg
Eine Spurgerade erhalte ich, wenn ich die Schnittgerade einer Ebene mit einer Koordinatenebene bilde.
Um [mm] g_{xy} [/mm] zu bestimmen, muss die z-Komponente der Ebene null gesetzt werden...
Bsp.
E: [mm] \vec{x}= \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] r*\vektor{2 \\ 0 \\ 1} +s*\vektor{0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Die Spurgerade, die in der xy-Ebene liegt, ergibt sich aus z = 0...
0 = 3 + r + 2s
z.b. nach r auflösen
r = -3 -2s
einsetzen in die Ebenengleichung...
[mm] g_{xy} [/mm] = [mm] \vektor{-5 \\ 2 \\ 0} +s*\vektor{-4 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Wenn das soweit stimmt, sehe ich in Bezug auf Spurgeraden keine wesentlichen Unterschiede; wohl aber bei Spurpunkten!!
Wer kann mir dazu etwas sagen?
Danke & Gruß!!
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Hallo!
Die Sache mit den Spurpunkten bezieht sich auf unterschiedliche Objekte, nämlich einmal auf Ebenen, einmal auf Graden.
Von der Art her entsprechen Spurpunkt einer Graden und Spurgrade einer Ebene sich, denn beide sind die gemeinsamen Punkte des Objekts mit einer Koordinatenebene.
Was deine Rechnung zur Spurgraden angeht: Das ist natürlich äquivalent. Überlege doch mal, was du da machst. Einmal bestimmst du die Schnittpunkte der Ebene mit der x- und y-Achse und legst da ne Grade durch, und das andere mal berechnest du direkt die Schnittgrade der Ebene mit der xy-Koordinatenebene. Die beiden Graden müssen zwangsläufig identisch sein.
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