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Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Mi 30.01.2013
Autor: kaju35

Hallo,

ich stehe vor einem Rätsel.

Ich habe eine Sägezahnfunktion, die durch die

Sinus-Reihe [mm] $s:=\sum_{n=1}^\infty\frac{sin(nx)}{n}$ [/mm] gegeben ist.

Auf dem Intervall [mm] $[-\pi,\pi]$ [/mm] entspricht sie der

Potenzfunktion [mm] $f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ [/mm]

Wie nennen wir s jetzt : periodische Fortsetzung von f?
Ich dachte immer, dass eine Funktion durch die Definition
auf einem Intervall eindeutig bestimmt ist.

Aber es geht noch weiter -

denn es gilt :  [mm] $\sum_{n=1}^\infty\frac{cos(nx)}{n^2}={(\frac{x-\pi}{2})}^2-\frac{\pi^2}{12}$ [/mm]

Und desweiteren :

[mm] $\sum_{n=1}^\infty\frac{sin(nx)}{n^3}=\frac{2}{3}{(\frac{x-\pi}{2})}^3-\frac{\pi^2}{12}+\frac{\pi^3}{12}$ [/mm]

u.s.w.

Hat das etwas zu tun mit einer Art von analytischer Fortsetzung?

Wer weiß was dazu?

Ciao
Kai


        
Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:24 Do 31.01.2013
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich stehe vor einem Rätsel.
>  
> Ich habe eine Sägezahnfunktion, die durch die
>  
> Sinus-Reihe [mm]s:=\sum_{n=1}^\infty\frac{sin(nx)}{n}[/mm] gegeben
> ist.
>
> Auf dem Intervall [mm][-\pi,\pi][/mm] entspricht sie der
>
> Potenzfunktion [mm]f(x)=\frac{\pi-x}{2}[/mm]


Ja, denn es gilt f(x)=s(x)  für alle x [mm] \in[/mm]  [mm][-\pi,\pi][/mm]

>  
> Wie nennen wir s jetzt : periodische Fortsetzung von f?


Das kannst Du tun.


>  Ich dachte immer, dass eine Funktion durch die Definition
> auf einem Intervall eindeutig bestimmt ist.

Ist sie doch auch !

>  
> Aber es geht noch weiter -
>
> denn es gilt :  
> [mm]\sum_{n=1}^\infty\frac{cos(nx)}{n^2}={(\frac{x-\pi}{2})}^2-\frac{\pi^2}{12}[/mm]
>  
> Und desweiteren :
>  
> [mm]\sum_{n=1}^\infty\frac{sin(nx)}{n^3}=\frac{2}{3}{(\frac{x-\pi}{2})}^3-\frac{\pi^2}{12}+\frac{\pi^3}{12}[/mm]
>  
> u.s.w.
>  
> Hat das etwas zu tun mit einer Art von analytischer
> Fortsetzung?

Nein, die 2 [mm] \pi [/mm] -periodische Fortsetzung obiger Funktion f ist ja noch nicht mal stetig auf [mm] \IR. [/mm]

FRED

>  
> Wer weiß was dazu?
>  
> Ciao
> Kai
>  


Bezug
                
Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Fr 01.02.2013
Autor: kaju35

Hallo,

zuerst möchte ich mich entschuldigen für zwei Fehler
die ich übersehen habe :

1) Das Intervall, auf dem die Sinusreihe und die
Potenzfunktion identisch sind, ist nicht [mm] $[-\pi,\pi]$ [/mm] sondern
[mm] $[0,2\pi]$. [/mm]

2) Muss es heißen
[mm] $\sum_{n=1}^\infty\frac{sin(nx)}{n^3}= \frac{2}{3}(\frac{x-\pi}{2})^3-\frac{\pi^2}{12}x+\frac{\pi^3}{12}$ [/mm] statt [mm] $\frac{2}{3}(\frac{x-\pi}{2})^3-\frac{\pi^2}{12}+\frac{\pi^3}{12}$ [/mm]
Ich habe da das x unterschlagen.

So und jetzt zu meinem ursprünglichen, eigentlichen
Problem : Ich kann nicht verstehen, wie zwei Funktionen
über ein Intervall von [mm] $2\pi$ [/mm] identisch sein können und
ausserhalb dieser Intervallgrenzen unterschiedliches
Verhalten zeigen.

Eine jegliche Antwort, ob hilfreich oder nicht, würde mich
sehr erfreuen.

Gruß
Kai


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:41 Fr 01.02.2013
Autor: leduart

Hallo
deine eine fkt ist ja nur [mm] auf(0,2\pi) [/mm] definiert, auf [mm] (2\pi,4\pi) [/mm] hat sie - periodisch fortgesetzt ja eine andere Form [mm] f(x)=-x/2+3/2\pi [/mm]
die stimmt auf dem 2 ten Intervall mit der Reihe überein usw
die Reihe beschreibt die periodische Fortsetzung deines f(x) und das ist stückweise jeweils durch eine anderes Polynom beschrieben.
Gruss leduart

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Sinusreihe vs. Potenzfunktion: periodische Fortsetzung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 So 03.02.2013
Autor: kaju35

Hallo leduart,

danke für Deine Antwort. Ich kann nachvollziehen, dass
ich für die periodische Fortsetzung jeweils ein anderes
Polynom brauche nämlich [mm] $f(x-2\pi [/mm] k)$ für das k-te Intervall.
(wobei $f(x)$ mit [mm] $x\in[0,2\pi]$ [/mm] das "Ur"-Intervall ist)

Ist das so weit richtig?

Gruß
Kai

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Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 So 03.02.2013
Autor: leduart

hallo
ja, aber wie du es hinschreibst ist es falsch, richtig ist [mm] f(x+k*2\pi)=f(x)+k*\pi [/mm]
aber wozu willst du das?
gruss leduart

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Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Intervall
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 So 03.02.2013
Autor: kaju35

Hallo leduart,

bist Du sicher, dass die Formel so falsch ist?
Wenn x aus dem k-ten Intervall ist gilt (mit $k=0$ für
das erste Intervall) :  [mm] $x\in[2\pi k,2\pi [/mm] (k+1)]$ und somit
[mm] $\Rightarrow f(x)=f(x-2\pi [/mm] k)$. Dann entspricht die stückweise
definierte Funktion der Funktion auf dem Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm]
nur halt um das Intervall [mm] $2\pi [/mm] k$ verschoben.

Um zu verstehen, worauf ich hinaus will, bitte ich Dich,
einen Blick auf den Anhang in meinem letzten Post zu
werfen! Ist es nicht erstaunlich, dass die Funktionen
auf dem Intervall [mm] $[0,2\pi]$ [/mm] (absolut?) identisch sind?
Was sogar für die Ableitungen meines Erachtens nach
der Fall ist. Und außerhalb der Intervallgrenzen
divergieren die beiden Funktionen ohne besonderen
Grund.

Leider sind meine Kenntnisse in Funtionalanalysis recht
dürftig, aber mir wäre schon geholfen, wenn jemand mir
beim Verstehen dessen helfen könnte.

Und wozu ich das will =
Ein einziger Grund : Faszination Mathematik.

Meine Favourites sind :
1) [mm] $e^{i\pi}=-1$ [/mm]
2) Stokes'scher Integralsatz
3) analytische Fortsetzung

Gruß
Kai





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Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:40 Mo 04.02.2013
Autor: leduart

Hallo
deine und meine fkt. beschreibung sind dieselben. ich hab es nur anders geschrieben.
Mit deiner Graphik kann ich nichts anfangen, sie sieht wie eine taylornäherung von sin(x) um 0 entwickelt aus?
wenn ja sind sie nicht absolut identisch sondern nur pixelgenau im Bild.
sonst musst du sagen was dein Bild darstellt.
und noch immer: die Taylorentwicklung für differenzierbare fkt, und die Fourrierreihe für periodische stimmen exakt überein nur für unendlich viele Summanden, je mehr man nimmt, umso besser die Übereinstimmung. Aber dafür sind die Reihen ja gemacht  um andere fkt. durch sin und cos oder durch Polynome zu approximieren, die erst genau die fkt ergeben, wenn man bis unendlich summiert, vielleicht plottest du mal die fourriereihe bis 10, dann 20, dann 40, dann sieht man noch gut die unterschiede!
2  beliebig oft ,differenzierbare fkt, die auf einem Intervall (auch sehr klein) exakt übereinstimmen sind auf ganz R gleich.
Gruss leduart

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Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Graph
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Mo 04.02.2013
Autor: kaju35

Hallo leduart,

mein Graph zeigt die beiden Funktionen

$ [mm] \sum_{n=1}^\infty\frac{sin(nx)}{n^3}$ [/mm] und [mm] $\frac{2}{3}(\frac{x-\pi}{2})^3-\frac{\pi^2}{12}x+\frac{\pi^3}{12} [/mm] $.

(o.k. der Plot geht nicht bis [mm] $\infty$, [/mm] sondern nur bis 60)

Die Identität der beiden Funktionen

ergibt sich aus [mm] $\sum_{n=1}^\infty\frac{sin(nx)}{n}=\frac{\pi -x}{2}$. [/mm]

Die Gleichheit ist nun allein gegeben auf dem Intervall [mm] $[0,2\pi]$. [/mm]

>  Mit deiner Graphik kann ich nichts anfangen, sie sieht wie
> eine taylornäherung von sin(x) um 0 entwickelt aus?

Eine Taylornäherung von sin(x) um 0 würde sehr langsam
konvergieren. Dazu wäre sie periodisch, was ich nicht will,
weil sie dann mit der Sinusreihe identisch auf ganz [mm] $\mathbb [/mm] R$ wäre.

Ich muss zugeben, dass ich Schwierigkeiten habe, mein
Anliegen verständlich zu machen :-(.

Kennt jemand von Euch eine vergleichbare Situation in der
Mathematik, wo zwei stetige Funktionen auf einem Intervall
identisch sind und außerhalb des Intervalls ungleich?

Gruß
Kai


Bezug
                                                                        
Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Mo 04.02.2013
Autor: leduart

Hallo
die Fourrierreihe ist doch genau deshalb "erfunden", als Mittel Funktionen, die stückweise stetig sind durch eine auf ganz R stetige fkt darzustellen.
also wirst du in 1d keine anderen Beispiele finden.
alerdings stimmen sie wirklich erst überein. wenn du bis [mm] \infty [/mm] summierst, davor ist die Übereinstimmung nur eben hier offensichtlich pixelgenau. wenn du einen kleinen Ausschnitt vergrößerst siehst du das. Und da niemand wirklich bis [mm] \infty [/mm] summieren kann gibt es praktisch die Übereinstimmung nicht.
Gruss leduart

Bezug
                                                                                
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Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Unendliche Summierung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mo 04.02.2013
Autor: kaju35

Hallo leduart,

> Und da niemand
> wirklich bis [mm]\infty[/mm] summieren kann gibt es praktisch die
> Übereinstimmung nicht.

Und da niemand wirklich bis [mm] $\infty$ [/mm] summieren kann gibt es praktisch
die Exponentialfunktion nicht. ;-)

Konvergiert die Sinusreihe nicht gegen eine Funktion?

Gruß
Kai


Bezug
                                                                                        
Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Nicht immer
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Mo 04.02.2013
Autor: Infinit

Hallo kai,
diese Reihendarstellungen benötigen häufig wirklich unendlich viele Terme, aber um es ganz klar zu sagen, ob dies so ist, hängt von der darzustellenden Funktion ab. Es gibt Funktionen, die mit einer endlichen Anzahl von Koefizienten exakt darstellbar sind. Denke nur bei einer Darstellung mit Hlfe einer Fourierreihe an eine Funktion, die eine lineare Überlagerung einer Sinusschwingung mit einer endlichen Anzahl von Oberschwingungen ist, da brauchst Du auch nur eine endliche Anzahl von Termen. In Deinem Beispiel haut dies aber, - leider oder auch nicht leider -, nicht hin.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                                                                                                
Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Obertöne
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:54 Mo 04.02.2013
Autor: kaju35

Hallo Infinit,

als Musiker kenne ich mich naturgemäß mit Obertönen
und subtraktiver Synthese aus. Letztere tritt auf im
Synthesizer. In der Sägezahn-Wellenform
sind alle sämtliche Obertöne enthalten. In der Rechteck-
Wellenform hingegen nur jeder Zweite, weswegen
dieser Klang "hohl" klingt :-). So weit ich weiß, wird
bei der Kirchenorgel der Klang durch Sinus-Addition
gebildet.

Aber zurück zur Mathematik :

Meine Sinus-Reihe war ja [mm] $\sum_{n=1}^\infty\frac{sin(nx)}{n^3}=\frac{2}{3}{(\frac{x-\pi}{2})}^3-\frac{\pi^2}{12}+\frac{\pi^3}{12}$ [/mm]

Wie leduart bereits gesagt hat, ist die Übereinstimmung
gegeben für [mm] $N\rightarrow\infty$ [/mm] (N=obere Summengrenze).

Ich habe mal ein kleines Intervall vergrößert. Die beiden
Funktionen weichen von einander ab. Was aber beliebig(?)
reduziert werden kann, indem N erhöht wird.

Gruß
Kai

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Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:37 Mo 04.02.2013
Autor: leduart

Hallo
du kannst jede erforderliche Genauigkeit erreichen. z.B die fkt soll im ganzen Intervall auf mindestens 10 Stellen mit der Reihe übereinstimmen, oder auf 10⁶ Stellen usw, kannst du alles mit genügend großem n erreichen. beliebig genau heißt dann n beliebig groß.
und ja [mm] e^x [/mm] ist in fast keinem Punkt exakt bekannt, das hindert nicht, die Eigenschaften wie [mm] f^{(n)}=f [/mm]  und f(a*b)=f(a)*f(b) usw festzustellen
dasselbe gilt für sin(x) usw.
Gruss leduart

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Exponentialfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Mo 04.02.2013
Autor: kaju35

Hallo leduart,

> das hindert nicht, die Eigenschaften wie [mm]f^{(n)}=f[/mm]  und
> f(a*b)=f(a)*f(b) usw festzustellen dasselbe gilt für sin(x) usw.

Hoppla,
muss das nicht $f(a+b)=f(a)f(b)$ heißen? Bzw. [mm] $e^{ab}=(e^a)^b$ [/mm]

Gruß
Kai


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Mo 04.02.2013
Autor: leduart

hallo
gut, dass du aufpasst und natürlich hast du recht!
Gruss leduart

Bezug
                                                                                        
Bezug
Sinusreihe vs. Potenzfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Mo 04.02.2013
Autor: leduart

Hallo
soweit sie konvergiert ist die fkt durch die unendliche Reihe gegeben!
Gruss leduart

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