Singularitäten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
hi,
ich musste mein tutorium leider früher verlassen, deswegen hab ich die aufgabe nich mitbekomen. vllt könnte mir jemand kurz erklären, was ich hier genau machen muss bzw wie? im script finde ich keine "formel' zur berechnung von singularitäten. kommt man da evtl mit residuenberechnung weiter?
sg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mi 24.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> hi,
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> ich musste mein tutorium leider früher verlassen, deswegen
> hab ich die aufgabe nich mitbekomen. vllt könnte mir jemand
> kurz erklären, was ich hier genau machen muss bzw wie? im
> script finde ich keine "formel' zur berechnung von
> singularitäten. kommt man da evtl mit residuenberechnung
> weiter?
Nicht wirklich.
Singularitäten sind isolierte Punkte, an denen die Funktion nicht definiert ist, während sie an allen anderen Punkten einer Umgebung holomorph ist.
Also musst du für jede der drei Funktionen die isolierten Punkte bestimmen, an denen die Funktion nicht definiert ist. Wenn du die Punkte weisst, musst du dir überlegen, ob es sich um hebbare Singularitäten, Pole oder wesentliche Singularitäten handelt.
Viele Grüße
Rainer
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ok, danke.
also dass mit den singularitäten hab ich mir schon gedacht. nur hat mich irritiert, dass die so leicht rauszufinden sind :O aber dann is die einordnung in die typen wohl das schwere. muss ich dazu unbedingt sone blöde laurent-reihe entwickeln? kann ich nämlich nich :/ oda kann ich das anders machen? sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 25.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> ok, danke.
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> also dass mit den singularitäten hab ich mir schon gedacht.
> nur hat mich irritiert, dass die so leicht rauszufinden
> sind :O aber dann is die einordnung in die typen wohl das
> schwere. muss ich dazu unbedingt sone blöde laurent-reihe
> entwickeln?
Ich sag da mal nichts zu.
> kann ich nämlich nich :/ oda kann ich das
> anders machen? sg
Wenn es eventuell eine wesentliche Singularitaet ist, da koenntest Du den Satz von Casorati-Weierstrass verwenden. Bei hebbaren Singularitaeten hilft Dir der Riemannsche Hebbarkeitssatz weiter. Natuerlich gibt es eine ganze Reihe von Moeglichkeiten um festzulegen, von welchem Typ die Singularitaeten genau sind. Diesbezueglich verweise ich aber eher an ein Buch, da ich diese nicht alle aufzaehlen moechte. Laurent-Reihe ist natuerlich eine dieser Moeglichkeiten.
Gruss Denny
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ja, danke. also wir sollen wohl die laurent-reihe benutzen. aber mit reihen kann ich garnix anfangen. und das is noch höflich ausgedrückt. irgendwie muss man ja auf ne geom. reihe kommen oda so durch geschicktes ausklammern. bei (iii) hab ich ja dann quasi 2 brüche stehen:
[mm] \bruch{1}{1-iz}+\bruch{z^{2}}{1-iz} [/mm] kann ich jetzt schon den ersten bruch als [mm] \summe_{i=1}^{n}(iz)^{k} [/mm] darstellen? oda stört das i dort? wenn ja, wie bekomm ich das da weg? bei dem 2. bruch kann ich [mm] z^{2} [/mm] vors summenzeichen ziehen. aber bringt mich das irgendwie weiter?
muss ich bei i und ii den sin schon als reihe darstellen? oda evtl als exp darstellen?
sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Do 25.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo!
Also bei sin(1/z) sollte die Laurentreihenentwicklung nicht so schwer sein,
Nimm die Definition vom Sinus (Summe [mm] (-1)^k*....) [/mm] und setze [mm] z^{-1} [/mm] ein, dann machst du ne Indexverschiebung z.B. mit 2k= -n. Dann siehst du, dass die Laurentreihe unendlich viele Koeffizienten [mm] a_n\not=0 [/mm] für n<0 besitzt, also liegt eine wesentliche Singularität vor.
Gruß
Fry
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hi, danke für die schnelle antwort. aber ich weiß nich so recht, wie du das mit der indexverschiebung meinst.
also ich hab jetzt folgende reihe stehen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{z^{-(2k+1)}}{(2k+1)!}
[/mm]
indexverschiebung kenn ich nur so, dass man einfach die indices entsprechend anpasst. also ich versteh nich, was ich mit 2k=-n anfangen kann...
sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 25.06.2009 | | Autor: | Fry |
Du könntest halt 2k durch -n substituieren, wenn du entsprechend die Grenzen der Summe anpasst, bleiben erhälst du [mm] -\infty [/mm] als untere und 0 als obere Grenze. Du kannst auch einfach mal anfangen die Summe auszuschreiben, dann siehst du das du ne Reihe der Form:
[mm] a_{-1}*z^{-1}+a_{-3}*z^{-3}+a_{-5}*z^{-5} [/mm] + ... hast und
[mm] a_{-n}=\bruch{(-1)^n}{(2n+1)!} [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] sind, wie an dem Term merkst, sind die [mm] a_{-n} [/mm] alle ungleich 0. Wenn man ne Laurentreihe hat, dann ist der Hauptteil ja definiert als alle Koeffizienten [mm] a_n [/mm] mit n negativ. Und ein Kriterium sagt gerade, dass eine wesentliche Singularität im Entwicklungspunkt (hier 0) vorliegt, wenn der Hauptteil unendlich viele Koeffizienten ungleich 0 besitzt.
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thx. dann setz ich 2k=-n. warum sich dann die grenzen zu anpassen seh ich zwar nich, aber ich glaub dir mal ; )
dann muss ich aber auch k in meiner summe durch -n/2 erstzen. aber das passt irgendwie nich. ich blick noch nich wirklich durch :/ sry
sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Do 25.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hilft Dir der Link weiter in meiner anderen Nachricht weiter? Dort wurde der Vorgang bei (ii) erklärt.
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hi,
danke für den link. also was ihr da alles geschrieben habt, versteh ich nich wirklich. is mir zuviel mathe :S
allerdings hat fred in seiner antwort geschrieben, dass man an der reihe, wie ich sie auch hingeschrieben hab, sofort sieht, dass im hauptteil unendlich viele koeffizienten [mm] \not=0 [/mm] sind. also ich sehe das nich :/ und was is hier der hauptteil?
sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:17 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> hi,
>
> danke für den link. also was ihr da alles geschrieben habt,
> versteh ich nich wirklich. is mir zuviel mathe :S
> allerdings hat fred in seiner antwort geschrieben, dass man
> an der reihe, wie ich sie auch hingeschrieben hab, sofort
> sieht, dass im hauptteil unendlich viele koeffizienten
> [mm]\not=0[/mm] sind. also ich sehe das nich :/ und was is hier der
> hauptteil?
Es ist
$ sin(1/z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{1}{(2n+1)!}\bruch{1}{z^{2n+1}} [/mm] $
und der Haupteil der Laurententwicklung ist
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{1}{(2n+1)!}\bruch{1}{z^{2n+1}}
[/mm]
FRED
>
> sg
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*g* also gibts nur n hauptteil. ok, danke
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