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Schnittwinkel Koordinatenebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:02 So 16.12.2007
Autor: Mathe-Andi

Aufgabe
Berechnen Sie die Schnittwinkel der Ebene E:6x+3y+2z-1=0 mit den drei Koordinatenebenen.

Hallo,

habe ich die Aufgabe so richtig gelöst? Ich habe es nur an einer Ebene berechnet, der Rechenweg der beiden anderen ist ja der selbe.

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]

Andreas

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Schnittwinkel Koordinatenebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 So 16.12.2007
Autor: Somebody


> Berechnen Sie die Schnittwinkel der Ebene E:6x+3y+2z-1=0
> mit den drei Koordinatenebenen.
>  Hallo,
>  
> habe ich die Aufgabe so richtig gelöst?

Ich verstehe nicht, was Du hier machst. Wenn Du den Schnittwinkel [mm] $\alpha$ [/mm] zwischen zwei Ebenen [mm] $E_1, E_2$ [/mm] mit Normalenvektoren [mm] $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ [/mm] berechnen willst, dann ist doch

[mm]\cos(\alpha) = \frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot |\vec{n}_2|}[/mm]


Wohlgemerkt: der [mm] $\cos$ [/mm] nicht, wie Du schreibst, der [mm] $\sin$. [/mm] Der [mm] $\sin$ [/mm] tritt auf, wenn Du den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] zwischen einer Geraden mit Richtungsvektor [mm] $\vec{v}$ [/mm] und einer Ebene mit Normalenvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] bestimmen möchtest. Dann gilt

[mm]\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot |\vec{n}|}[/mm]


> Ich habe es nur an
> einer Ebene berechnet, der Rechenweg der beiden anderen ist
> ja der selbe.

Ok, ok. Dein Normalenvektor [mm] $\vec{n}_2$ [/mm] ist auch in der Tat ein Normalenvektor der gegebenen Ebene $E$. Aber was wäre ein Normalenvektor der $xy$-Ebene, [mm] $E_{xy}$? [/mm] - Doch sicher nicht der von Dir angegebene Vektor

[mm]\vec{n}_1=\pmat{6\\3\\0}[/mm]


Dieser ist die Projektion des Vektors [mm] $\vec{n}_2$ [/mm] auf [mm] $E_{xy}$, [/mm] aber gerade darum alles andere als senkrecht zu [mm] $E_{xy}$ [/mm] (vielmehr ist dieser Vektor parallel zu [mm] $E_{xy}$). [/mm]
Dass Du diesen Fehler machst, deutet darauf hin, dass Du weiterhin das Problem der Berechnung des Winkels zwischen einer Ebene $E$ und der Koordinatenebene [mm] $E_{xy}$ [/mm] mit der Berechnung des Winkels einer Geraden mit Richtungsvektor [mm] $\vec{v}$ [/mm] und [mm] $E_{xy}$ [/mm] verwechselst. Dieser Winkel wäre in der Tat (im Wesentlichen) der Winkel zwischen [mm] $\vec{v}$ [/mm]  (d.h. Deinem [mm] $\vec{n}_1$) [/mm] und Deinem [mm] $\vec{n}_2$. [/mm]

Nein: Ein Normalenvektor von [mm] $E_{xy}$ [/mm] ist etwas weit simpleres, etwa der Vektor

[mm]\pmat{0\\0\\1}[/mm]


Du müsstest also diesen Vektor als [mm] $\vec{n}_1$ [/mm] nehmen und, wie oben erwähnt, den [mm] $\cos$ [/mm] anstelle des [mm] $\sin$ [/mm] (bzw. deren zugehörige Arcusfunktion) verwenden.

>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]


Bezug
                
Bezug
Schnittwinkel Koordinatenebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 So 16.12.2007
Autor: Mathe-Andi

Viele Dank für die ausführliche Erklärung. Ich habe da wohl etwas verwechselt.

Ich hoffe meine Rechnung ist nun richtig:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Grüße Andreas

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Schnittwinkel Koordinatenebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 So 16.12.2007
Autor: weduwe

ich male halt zur kontrolle der reihe nach hin:
[mm] cos\alpha_{E,x_i}=\frac{6}{7}\quad{ }\frac{3}{7}\quad{ }\frac{2}{7}\quad{ }i=1,2,3 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Schnittwinkel Koordinatenebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 So 16.12.2007
Autor: Somebody


> Viele Dank für die ausführliche Erklärung. Ich habe da wohl
> etwas verwechselt.
>  
> Ich hoffe meine Rechnung ist nun richtig:

Deine Rechung mag zwar richtig sein, aber ich kann kaum genauer hinschauen, denn wenn ich so etwas wie

[mm]\vec{n}_1=\pmat{6\\3\\0}=\pmat{0\\0\\1}[/mm]

sehe, so dreht sich mir der "mathematische Magen". Das zweite Gleichheitszeichen in der obigen Gleichung kann doch nie und nimmer gelten! - Wirf doch bitte sehr die für dieses Problem ganz unbrauchbare Projektion

[mm]\pmat{6\\3\\0}[/mm]

des Normalenvektors [mm] $\vec{n}_2$ [/mm] der Ebene $E$ ganz weg und schreib nur noch

[mm]\vec{n}_1=\pmat{0\\0\\1}[/mm]


Entsprechende Änderungen sind bei [mm] $\vec{n}_3$ [/mm] und [mm] $\vec{n}_4$ [/mm] nötig.


>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Grüße Andreas


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