Schnittgerade finden < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:04 Di 03.03.2009 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | [mm] E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}
[/mm]
[mm] E_2=\{\vec{x} | \vektor{0\\1\\1}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\-1\\0})= 0 \} [/mm] |
aus 1:
x+y=0
y=-x
aus 2:
y+1+z=0 | y durch -x ersetzen
-x+1+z=0
z=x-1
[mm] \vektor{x\\-x\\x-1}
[/mm]
x=t
[mm] G=\{\vec{x} | \vektor{0\\0\\1}+t\vektor{1\\-1\\1}) \}
[/mm]
stimmt das so?
gruß, dic
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Di 03.03.2009 | | Autor: | glie |
> [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
>
> [mm]E_2=\{\vec{x} | \vektor{0\\1\\1}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\-1\\0})= 0 \}[/mm]
>
> aus 1:
>
> x+y=0
> y=-x
>
>
> aus 2:
>
> y+1+z=0 | y durch -x ersetzen
> -x+1+z=0
> z=x-1
>
>
> [mm]\vektor{x\\-x\\x-1}[/mm]
>
> x=t
>
> [mm]G=\{\vec{x} | \vektor{0\\0\\ \red{-}1}+t\vektor{1\\-1\\1}) \}[/mm]
>
> stimmt das so?
Hallo Dic,
Klitzekleiner Flüchtigkeitsfehler, ein Minus vergessen...ich habs dir rot eingefügt....sonst passts
Gruß Glie
>
> gruß, dic
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Di 03.03.2009 | | Autor: | dicentra |
so weit, so gut.
eine andere lösung, von vor einiger zeit ergab bei mir mit rechenweg:
> > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
> >
> > [mm]E_2=\{\vec{x} | \vektor{0\\1\\1}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\-1\\0})= 0 \}[/mm]
aus 1:
x+y=0
y=-x
aus 2:
y+1+z=0
y=-z-1
y=y
x=z+1
[mm]\vektor{z+1\\-z-1\\z}[/mm]
x=t
[mm]G=\{\vec{x} | \vektor{1\\-1\\0}+t\vektor{1\\-1\\1}) \}[/mm]
handelt es sich hier um die selbe gerade mit einem anderen stützvektor?
wenn ich die beiden geraden mit maple darstellen lasse, schneiden die sich.
wenn es die selbe wäre, und das muss sie ja sein, müssten sie ja
übereinanderliegen und sich nicht schneiden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Di 03.03.2009 | | Autor: | glie |
> so weit, so gut.
>
> eine andere lösung, von vor einiger zeit ergab bei mir mit
> rechenweg:
>
> > > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
>
> > >
> > > [mm]E_2=\{\vec{x} | \vektor{0\\1\\1}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\-1\\0})= 0 \}[/mm]
>
> aus 1:
>
> x+y=0
> y=-x
>
> aus 2:
>
> y+1+z=0
> y=-z-1
>
>
> y=y
> x=z+1
Das muss hier [mm] \red{-}x [/mm] heissen.
>
>
> [mm]\vektor{z+1\\-z-1\\z}[/mm]
>
> x=t
>
> [mm]G=\{\vec{x} | \vektor{1\\-1\\0}+t\vektor{1\\-1\\1}) \}[/mm]
>
>
> handelt es sich hier um die selbe gerade mit einem anderen
> stützvektor?
> wenn ich die beiden geraden mit maple darstellen lasse,
> schneiden die sich.
> wenn es die selbe wäre, und das muss sie ja sein, müssten
> sie ja
> übereinanderliegen und sich nicht schneiden.
>
Übereinanderliegende identische Geraden schneiden sich auch und zwar in allen Punkten.
Habs jetzt nicht nachgerechnet, aber wenn du den Vorzeichenfehler verbesserst sollte du die identische Gerade herausbekommen...Stützpunkt kann allerdings verschieden sein und Richtungsvektor kann auch mal ein Vielfaches sein.
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Di 03.03.2009 | | Autor: | dicentra |
> > so weit, so gut.
> >
> > eine andere lösung, von vor einiger zeit ergab bei mir mit
> > rechenweg:
> >
> > > > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
>
> >
> > > >
> > > > [mm]E_2=\{\vec{x} | \vektor{0\\1\\1}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\-1\\0})= 0 \}[/mm]
>
> >
> > aus 1:
> >
> > x+y=0
> > [mm] y=\blue{-x}
[/mm]
> >
> > aus 2:
> >
> > y+1+z=0
> > [mm] y=\green{-z-1}
[/mm]
> >
> >
> > y=y
> > x=z+1
>
>
> Das muss hier [mm]\red{-}x[/mm] heissen.
hm, -x? wenn ich die beiden y gleichsetze habe ich doch
-x = -z-1 |*(-1)
x=z+1
> >
> >
> > [mm]\vektor{z+1\\-z-1\\z}[/mm]
> >
> > x=t
> >
> > [mm]G=\{\vec{x} | \vektor{1\\-1\\0}+t\vektor{1\\-1\\1}) \}[/mm]
> >
>
> >
> > handelt es sich hier um die selbe gerade mit einem anderen
> > stützvektor?
> > wenn ich die beiden geraden mit maple darstellen lasse,
> > schneiden die sich.
> > wenn es die selbe wäre, und das muss sie ja sein,
> müssten
> > sie ja
> > übereinanderliegen und sich nicht schneiden.
> >
> Übereinanderliegende identische Geraden schneiden sich auch
> und zwar in allen Punkten.
ja gut, aber bei mapel kommt ein kreuz raus.
möglichereweise liegt da irgendwo ein fehler vor...
>
> Habs jetzt nicht nachgerechnet, aber wenn du den
> Vorzeichenfehler verbesserst sollte du die identische
> Gerade herausbekommen...Stützpunkt kann allerdings
> verschieden sein und Richtungsvektor kann auch mal ein
> Vielfaches sein.
dann müsste es doch hier richtig sein.
stützvektor anders, aber der richtungsvektor is der selbe. (1; -1; 1)
oder was meinst du?
gruß, dic
>
> Gruß Glie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Di 03.03.2009 | | Autor: | glie |
> > > so weit, so gut.
> > >
> > > eine andere lösung, von vor einiger zeit ergab bei mir mit
> > > rechenweg:
> > >
> > > > > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
>
> >
> > >
> > > > >
> > > > > [mm]E_2=\{\vec{x} | \vektor{0\\1\\1}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\-1\\0})= 0 \}[/mm]
>
> >
> > >
> > > aus 1:
> > >
> > > x+y=0
> > > [mm]y=\blue{-x}[/mm]
> > >
> > > aus 2:
> > >
> > > y+1+z=0
> > > [mm]y=\green{-z-1}[/mm]
> > >
> > >
> > > y=y
> > > x=z+1
> >
> >
> > Das muss hier [mm]\red{-}x[/mm] heissen.
>
> hm, -x? wenn ich die beiden y gleichsetze habe ich doch
>
> -x = -z-1 |*(-1)
> x=z+1
>
Hallo,
sorry du hast natürlich vollkommen recht, ich habs nicht genau genug angesehen.
Hab aber inzwischen den Fehler gefunden. Schau dir dein erstes Posting nochmal an da ist der Stützvektor der Schnittgerade falsch. Die dritte Koordinate ist [mm] \red{-1}
[/mm]
Und wenn du jetzt für t=1 wählst dann erhältst du genau den Stützvektor der Schnittgerade die du in deinem zweiten Posting angegeben hast....
Also zweimal die gleiche Gerade, gleicher Richtungsvektor, unterschiedlicher Aufpunkt....
Hoffe jetzt ist alles klar
Gruß Glie
> > >
> > >
> > > [mm]\vektor{z+1\\-z-1\\z}[/mm]
> > >
> > > x=t
> > >
> > > [mm]G=\{\vec{x} | \vektor{1\\-1\\0}+t\vektor{1\\-1\\1}) \}[/mm]
>
> > >
> >
> > >
> > > handelt es sich hier um die selbe gerade mit einem anderen
> > > stützvektor?
> > > wenn ich die beiden geraden mit maple darstellen
> lasse,
> > > schneiden die sich.
> > > wenn es die selbe wäre, und das muss sie ja sein,
> > müssten
> > > sie ja
> > > übereinanderliegen und sich nicht schneiden.
> > >
> > Übereinanderliegende identische Geraden schneiden sich auch
> > und zwar in allen Punkten.
> ja gut, aber bei mapel kommt ein kreuz raus.
> möglichereweise liegt da irgendwo ein fehler vor...
>
> >
> > Habs jetzt nicht nachgerechnet, aber wenn du den
> > Vorzeichenfehler verbesserst sollte du die identische
> > Gerade herausbekommen...Stützpunkt kann allerdings
> > verschieden sein und Richtungsvektor kann auch mal ein
> > Vielfaches sein.
> dann müsste es doch hier richtig sein.
> stützvektor anders, aber der richtungsvektor is der selbe.
> (1; -1; 1)
>
> oder was meinst du?
>
> gruß, dic
>
> >
> > Gruß Glie
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 03.03.2009 | | Autor: | dicentra |
> > > > so weit, so gut.
> > > >
> > > > eine andere lösung, von vor einiger zeit ergab bei mir mit
> > > > rechenweg:
> > > >
> > > > > > [mm]E_1=\{\vec{x} | \vektor{1\\1\\0}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\0\\2})= 0 \}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm]E_2=\{\vec{x} | \vektor{0\\1\\1}\cdot{}(\vec{x}-\vektor{0\\-1\\0})= 0 \}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > aus 1:
> > > >
> > > > x+y=0
> > > > [mm]y=\blue{-x}[/mm]
> > > >
> > > > aus 2:
> > > >
> > > > y+1+z=0
> > > > [mm]y=\green{-z-1}[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > y=y
> > > > x=z+1
> > >
> > >
> > > Das muss hier [mm]\red{-}x[/mm] heissen.
> >
> > hm, -x? wenn ich die beiden y gleichsetze habe ich doch
> >
> > -x = -z-1 |*(-1)
> > x=z+1
> >
>
>
> Hallo,
>
> sorry du hast natürlich vollkommen recht, ich habs nicht
> genau genug angesehen.
> Hab aber inzwischen den Fehler gefunden. Schau dir dein
> erstes Posting nochmal an da ist der Stützvektor der
> Schnittgerade falsch. Die dritte Koordinate ist [mm]\red{-1}[/mm]
>
> Und wenn du jetzt für t=1 wählst dann erhältst du genau den
> Stützvektor der Schnittgerade die du in deinem zweiten
> Posting angegeben hast....
>
> Also zweimal die gleiche Gerade, gleicher Richtungsvektor,
> unterschiedlicher Aufpunkt....
>
>
> Hoffe jetzt ist alles klar
> Gruß Glie
>
okay, das leuchtet mir ein und verstehe ich.
was mir nun keine ruhe läßt ist, dass maple da keine eine gerade ausgibt.
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Schnittpunkt von zwei Geraden
> restart:
> with(linalg):
> with(plots):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected
Warning, the name changecoords has been redefined
Punkte auf Gerade 1:
> p1g1:= vector([0,0,-1]);
> p2g1:= vector([1,-1,1]);
p1g1 := [0, 0, -1]
p2g1 := [1, -1, 1]
Punkte auf Gerade 2:
> p1g2:= vector([1,-1,0]);
> p2g2:= vector([1,-1,1]);
p1g2 := [1, -1, 0]
p2g2 := [1, -1, 1]
Geradengleichungen:
> g1:= (alpha) -> evalm(p1g1+alpha*(p2g1-p1g1));
> g2:= (beta) -> evalm(p1g2+beta*(p2g2-p1g2));
g1 := alpha -> evalm(p1g1 + alpha (p2g1 - p1g1))
g2 := beta -> evalm(p1g2 + beta (p2g2 - p1g2))
Lösen von 3 Gleichungen in 2 Unbekannten:
> gl1:= g1(alpha)[1]=g2(beta)[1];
> gl2:= g1(alpha)[2]=g2(beta)[2];
> gl3:= g1(alpha)[3]=g2(beta)[3];
> Loesung:= solve({gl1,gl2,gl3}, {alpha,beta});
gl1 := alpha = 1
gl2 := -alpha = -1
gl3 := -1 + 2 alpha = beta
Loesung := {alpha = 1, beta = 1}
Sollten hir nicht unendlich viele Lösungen stehen, wenn es sich um die selbe Gerade handelt?
Je zwei Werte für alpha und beta:
> datag1:=[g1(-1),g1(4)];
> datag2:=[g2(-1),g2(3)];
datag1 :=  -1, 1, -3], [4, -4, 7
datag2 := 1, -1, -1], [1, -1, 3
Plotten der zwei Geraden:
> gerade1:=polygonplot3d(datag1, thickness=2):
> gerade2:=polygonplot3d(datag2, thickness=3):
> display([gerade1,gerade2], scaling=CONSTRAINED, axes=boxed, title="Die 2 Geraden schneiden sich in einem Punkt!");
--------------------------------------------------------------
die datei dazu ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
gruß, dic
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> > > >
> > > >
> > > > [mm]\vektor{z+1\\-z-1\\z}[/mm]
> > > >
> > > > x=t
> > > >
> > > > [mm]G=\{\vec{x} | \vektor{1\\-1\\0}+t\vektor{1\\-1\\1}) \}[/mm]
>
> >
> > > >
> > >
> > > >
> > > > handelt es sich hier um die selbe gerade mit einem anderen
> > > > stützvektor?
> > > > wenn ich die beiden geraden mit maple darstellen
> > lasse,
> > > > schneiden die sich.
> > > > wenn es die selbe wäre, und das muss sie ja sein,
> > > müssten
> > > > sie ja
> > > > übereinanderliegen und sich nicht schneiden.
> > > >
> > > Übereinanderliegende identische Geraden schneiden sich auch
> > > und zwar in allen Punkten.
> > ja gut, aber bei mapel kommt ein kreuz raus.
> > möglichereweise liegt da irgendwo ein fehler vor...
> >
> > >
> > > Habs jetzt nicht nachgerechnet, aber wenn du den
> > > Vorzeichenfehler verbesserst sollte du die identische
> > > Gerade herausbekommen...Stützpunkt kann allerdings
> > > verschieden sein und Richtungsvektor kann auch mal ein
> > > Vielfaches sein.
> > dann müsste es doch hier richtig sein.
> > stützvektor anders, aber der richtungsvektor is der
> selbe.
> > (1; -1; 1)
> >
> > oder was meinst du?
> >
> > gruß, dic
> >
> > >
> > > Gruß Glie
> >
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: mw) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 03.03.2009 | | Autor: | glie |
Das liegt wohl daran, dass du den Richtungsvektor als Punkt auf der Gerade eingibst.
Dann kanns nicht stimmen, denn Maple berechnet ja nochmal einen Richtungsvektor als Verbindungsvektor der beiden vermeintlichen Punkte.
Gruß Glie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:32 Sa 07.03.2009 | | Autor: | dicentra |
okay, danke.  dic
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Di 03.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> [mm]G=\{\vec{x} | \vektor{1\\-1\\0}+t\vektor{1\\-1\\1}) \}[/mm]
>
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> handelt es sich hier um die selbe gerade mit einem anderen
> stützvektor?
> wenn ich die beiden geraden mit maple darstellen lasse,
> schneiden die sich.
> wenn es die selbe wäre, und das muss sie ja sein, müssten
> sie ja
> übereinanderliegen und sich nicht schneiden.
>
ja, das ist dieselbe gerade
aber warum so kompliziert?
x + y = 0
y + z + 1 = 0
[mm] y = -t\to \vec{x}=\vektor{0\\0\\-1}+t\vektor{1\\-1\\1}[/mm]
und für t = 1 hast du den punkt P(1/-1/0) als alternativen "stützvektor"
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