Scheitelform und Linearfaktor < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 15.11.2008 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Gegeben: [mm] f(x)=-1/3x^2+1/3x+2
[/mm]
Gesucht: Scheitelform der Funktion und Funktion als Produkt von Linearfaktoren |
Guten Tag,
kann mir einer erklären wie man die Scheitel form bestimmt?
Bzw. was die Scheitelform darstellt.
Zusätzlich soll man die Funktion als Produkt von Linearfaktoren darstellen.
So wie ich das verstanden habe, muss man die Nulltellen der Funktion miteinander malnehmen.
Nullstellen: x1=2, x2=-1/3, x3=-4
Wenn ich die Nullstellen mal nehme, kommt flgendes raus:
f(x)=(x-2)(x+1/3)(x+4)
Laut Musterlösung muss man das Ganze noch mit 3 malnehmen.
Also: f(x)= 3 * (x-2)(x+1/3)(x+4)
Wo kommt die 3 her?
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Ich will dir nicht zunahe treten,
aber seit wann hat eine Parabel 3 Nullstellen?
die Nullstellen sind {-2 ; 3}
also y = (x+2)(x-3)
ich frag mich dann woher die musterlösung kommt? von kompetenten mitschülern ? ;)
und die scheitelpunktsfunktion ist immer die form :
[mm] a*(x+b)^{2}+c [/mm]
und der scheitelpunkt somit bei {-b;c}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 15.11.2008 | | Autor: | zoj |
Tut mir leid, mir ist ein Fehler unterlaufen.
Es sind zwei Funktionen.
Bei der Funktion: f(x)= [mm] -\bruch{1}{3}x^{2}+\bruch{1}{3}x+2
[/mm]
will ich wissen, wie man auf die Scheitelform kommt und was die Scheitelform darstellt.
Bei der zweiten Funktion: [mm] f(x)=3x^{3}+7x^{2}-22x-8
[/mm]
will ich wissen, wie man sie in Linerfaktoren zerlegt.
Diese Funktion hat die Nullstellen: x1=2, x2=-1/3, x3=-4
Ich habe folgendes raus:
f(x)=(x-2)(x+1/3)(x+4)
Laut Musterlösung muss das rauskommen:
f(x)= 3 * (x-2)(x+1/3)(x+4)
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Hallo!
Die Scheitelpunktform sieht so aus:
[mm] y=\blue{a}*\red{(x-b)^2}+\green{c}
[/mm]
Diese Form heißt so, weil der Scheitelpunkt der Parabel einfach abgelesen werden kann, der ist einfach $(b|c)_$
Der Weg dorthin führt über die quadratische Ergänzung. Mal Schritt für schritt:
[mm] y=\red{px^2+qx}+r
[/mm]
Ergänze das rote quadratisch. Frage: Welchen Wert mußt duzu dem roten hinzuaddieren, damit daraus eine binomische Formel wird? Hier wäre das [mm] \left(\frac{q}{2p}\right)^2 [/mm] :
[mm] $y=\red{\underbrace{px^2}_{a^2}+\underbrace{qx}_{+2ab}+\underbrace{\left(\frac{q}{2p}\right)^2}_{+b^2} }+r-\left(\frac{q}{2p}\right)^2 [/mm] $
Weil du die Formel ja nicht verändern darfs, wird dieser Term ganz rechts wieder abgezogen. Das rote kannst du nun als bin. Formel umformen:
[mm] y=\red{\left(px+\frac{q}{2p}\right)^2}+\green{r-\left(\frac{q}{2p}\right)^2}
[/mm]
Das ist schon fast das, was wir wollen. Es fehlt noch eins: In der Klammer darf vor dem x nichts stehen, das erreicht man, indem man diesen Vorfaktor vor die Klammer zieht:
[mm] y=\blue{p^2}\red{\left(x+\frac{q}{2p^2}\right)^2}+\green{r-\left(\frac{q}{2p}\right)^2}
[/mm]
Ich hab das nun mit variablen gemacht, du kannst das mal mit Zahlen nachvollziehen. Aber siehst du, daß das nun die Scheitelpunktform ist?
Zu deiner anderen Frage:
Die Formel [mm] x^2-1 [/mm] hat ihre Nullstellen bei [mm] \pm1 [/mm] . Die Formeln [mm] 3x^2-3 [/mm] und [mm] 26x^2-26 [/mm] aber auch. Die Nullstellen sagen nämlich nichts darüber aus, wie stark die Funktion gestreckt oder gestaucht ist.
Aber: Der Faktor, den du noch davor setzen mußt, ist auch direkt der Vorfaktor von dem [mm] x^2 [/mm] : [mm] \red{3}x^2-3=\red{3}(x-1)(x+1) [/mm] , [mm] \red{26}x^2-26=\red{26}(x-1)(x+1)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 So 16.11.2008 | | Autor: | zoj |
OK. Vielen Dank für die Hilfe!
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