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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Rotation bestimmen
Rotation bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Rotation bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Fr 14.06.2019
Autor: Christian.B

Aufgabe
Das Vektorfeld [mm] $\vec{v} [/mm] : [mm] \mathbb{R}^{3} \backslash\{\overrightarrow{0}\} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ [/mm] sei gegeben durch

$$
[mm] \vec{v}(x, [/mm] y, [mm] z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y} \\ {-x} \\ {0}\end{array}\right) [/mm]
$$

Bestimmen Sie  die Rotation von [mm] $\vec{v}$ [/mm] (in kartesischen Koordinaten).

Guten Abend, ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht zurecht, könnte mir Jemand helfen?

Hier mein bisheriger kläglicher Versuch


[mm] $rot(\vec{v}) [/mm] = [mm] rot\left( \left(\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+y\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-x\\ \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\end{matrix}\right)\right) [/mm] = [mm] \left(\begin{matrix}\frac{\partial }{\partial y} \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} - \frac{\partial }{\partial z} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} -x) \\ \frac{\partial }{\partial z} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} +y - \frac{\partial }{\partial x} \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \frac{\partial }{\partial x} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} -x - \frac{\partial }{\partial y}( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} +y) \end{matrix}\right) [/mm] = [mm] \left(\begin{matrix}0\\0\\-2\end{matrix}\right) [/mm] $



        
Bezug
Rotation bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Fr 14.06.2019
Autor: fred97


> Das Vektorfeld [mm]\vec{v} : \mathbb{R}^{3} \backslash\{\overrightarrow{0}\} \rightarrow \mathbb{R}^{3}[/mm]
> sei gegeben durch
>
> [mm][/mm]
>  [mm]\vec{v}(x,[/mm] y,
> [mm]z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y} \\ {-x} \\ {0}\end{array}\right)[/mm]
> [mm][/mm]
>  
> Bestimmen Sie  die Rotation von [mm]\vec{v}[/mm] (in kartesischen
> Koordinaten).
>  Guten Abend, ich komme mit dieser Aufgabe einfach nicht
> zurecht, könnte mir Jemand helfen?
>  
> Hier mein bisheriger kläglicher Versuch
>  
>
> [mm]rot(\vec{v}) = rot\left( \left(\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+y\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-x\\ \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\end{matrix}\right)\right) = \left(\begin{matrix}\frac{\partial }{\partial y} \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} - \frac{\partial }{\partial z} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} -x) \\ \frac{\partial }{\partial z} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} +y - \frac{\partial }{\partial x} \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \frac{\partial }{\partial x} \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} -x - \frac{\partial }{\partial y}( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} +y) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}0\\0\\-2\end{matrix}\right)[/mm]
>  





>  

Wo ist  Dein  Problem?  Es stimmt  doch  alles.  Vor dem letzten  =  fehlen einige  Klammern

Bezug
                
Bezug
Rotation bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Fr 14.06.2019
Autor: Christian.B

Ich bedanke mich

Bezug
        
Bezug
Rotation bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Sa 15.06.2019
Autor: Christian.B

Aufgabe
Schreiben Sie nun [mm] $\vec{v}$ [/mm] in Kugelkoordinaten. Berechnen Sie anschließend rot und vergleichen Sie ihr Ergebnis.

Hallo, ich musste meine alte Frage einmal ergänzen, denn ich habe hier Probleme denn ich weiß nicht wie ich die Kugelkoordinaten bestimmen soll.

Ich weiß dass gilt [mm] $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, [/mm] $x=r [mm] \sin (\theta) \cos (\phi)$, [/mm] $y=r [mm] \sin (\theta) \sin (\phi)$ [/mm] und $z=r [mm] \cos (\theta)$. [/mm] Damit folgt dann

[mm] $\vec{v}=\frac{1}{r}\left[\begin{array}{c}{r \sin (\theta) \cos (\phi)} \\ {r \sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {r \cos (\theta)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{-r \sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {r \cos (\theta) \cos (\phi)} \\ {0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\sin (\theta) \cos (\phi)} \\ {\sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {\cos (\theta)}\end{array}\right]+r \sin (\theta)\left[\begin{array}{c}{\sin (\phi)} \\ {-\cos (\phi)} \\ {0}\end{array}\right]$ [/mm]

Aber wie geht es nun weiter?

Ich muss ja irgendwie diese Formel hier nutze:

[mm] $\begin{aligned} \operatorname{rot} \vec{v}=& \frac{1}{r \sin (\theta)}\left(\frac{\partial\left(v_{\phi} \sin (\theta)\right)}{\partial \theta}-\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \phi}\right) \vec{e}_{r}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial\left(r v_{\theta}\right)}{\partial r}-\frac{\partial v_{r}}{\partial \theta}\right) \vec{e}_{\phi} \\ &+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin (\theta)} \frac{\partial v_{r}}{\partial \phi}-\frac{\partial\left(r v_{\phi}\right)}{\partial r}\right) \vec{e}_{\theta} \end{aligned}$ [/mm]


Oder liege ich da falsch?

LG
Christian

Bezug
                
Bezug
Rotation bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Sa 15.06.2019
Autor: fred97


> Schreiben Sie nun [mm]\vec{v}[/mm] in Kugelkoordinaten. Berechnen
> Sie anschließend rot und vergleichen Sie ihr Ergebnis.
>  Hallo, ich musste meine alte Frage einmal ergänzen, denn
> ich habe hier Probleme denn ich weiß nicht wie ich die
> Kugelkoordinaten bestimmen soll.
>  
> Ich weiß dass gilt [mm]r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/mm], [mm]x=r \sin (\theta) \cos (\phi)[/mm],
> [mm]y=r \sin (\theta) \sin (\phi)[/mm] und [mm]z=r \cos (\theta)[/mm]. Damit
> folgt dann
>  
> [mm]\vec{v}=\frac{1}{r}\left[\begin{array}{c}{r \sin (\theta) \cos (\phi)} \\ {r \sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {r \cos (\theta)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{-r \sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {r \cos (\theta) \cos (\phi)} \\ {0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\sin (\theta) \cos (\phi)} \\ {\sin (\theta) \sin (\phi)} \\ {\cos (\theta)}\end{array}\right]+r \sin (\theta)\left[\begin{array}{c}{\sin (\phi)} \\ {-\cos (\phi)} \\ {0}\end{array}\right][/mm]
>  
> Aber wie geht es nun weiter?
>  
> Ich muss ja irgendwie diese Formel hier nutze:
>  
> [mm]\begin{aligned} \operatorname{rot} \vec{v}=& \frac{1}{r \sin (\theta)}\left(\frac{\partial\left(v_{\phi} \sin (\theta)\right)}{\partial \theta}-\frac{\partial v_{\theta}}{\partial \phi}\right) \vec{e}_{r}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial\left(r v_{\theta}\right)}{\partial r}-\frac{\partial v_{r}}{\partial \theta}\right) \vec{e}_{\phi} \\ &+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin (\theta)} \frac{\partial v_{r}}{\partial \phi}-\frac{\partial\left(r v_{\phi}\right)}{\partial r}\right) \vec{e}_{\theta} \end{aligned}[/mm]
>  
>
> Oder liege ich da falsch?

Nein. Nimm  die  Formel  und  rechne.

>  
> LG
>  Christian


Bezug
                        
Bezug
Rotation bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:17 Sa 15.06.2019
Autor: Christian.B

Hallo fred97,

aber wie soll ich damit denn rechnen? Was ist denn [mm] $U_{\gamma}$ [/mm] oder [mm] $\vec{e}_{\phi}$? [/mm]
Sorry für die doofe Frage, aber ich muss doch vorher irgendwie umformen oder?

Bezug
                                
Bezug
Rotation bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 17.06.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Rotation bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:03 Di 18.06.2019
Autor: Chris84

Huhu
Die [mm] $\vec{e}_r$, $\vec{e}_{\theta}$ [/mm] und [mm] $\vec{e}_{\varphi}$ [/mm] sind die Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten.

[mm] $v_r$,... [/mm] sind die Koordinaten in Kugelkoordinaten. In kartesischen Koordinaten gilt zum Beispiel

[mm] $\vec{v}=v_x \vec{e}_x+v_x \vec{e}_y+v_y \vec{e}_z$ [/mm]

Genauso gilt in Kugelkoordinaten:
[mm] $\vec{v}=v_r \vec{e}_r+v_{\varphi} \vec{e}_{\varphi}+v_{\theta} \vec{e}_{\theta}$ [/mm]

Also bringe dein [mm] $\vec{v}$ [/mm] zuerst in diese Form, dann kannst du die Rotationsformel benutzen.

Gruss,
Chris

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