Roationskörper um y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Fr 16.05.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das Volumen einer Fläche um die y-Achse. Die Fläche zwischen f(x)= 2 [mm] \wurzel{x -1} [/mm] und der y-Achse im Intervall [2;4].
Hinweis
Für das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse gilt:
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x)^2) dx} [/mm] |
Moin,
gefunden habe ich...
Bei Rotation um die y-Achse muss ich 1. die Umkehrfunktion bilden und dann gilt:
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(y)^2) dy}.
[/mm]
Also
Umkehrfunktion bilden:
y = [mm] \bruch{1}{4}*x^2 [/mm] + 1
[mm] y^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}x^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*x^2 [/mm] +1
davon dann die Stammfunktion bilden und die Grenzen
f(2)= 2
f(4)= [mm] 2*\wurzel{3}
[/mm]
einsetzen...
Ist das richtig? Wäre das alles?
Wenn ich mir den Rotationskörper betrachte, dann erhalte ich doch eine Art Kegelstumpf, der allerdings eingedellt ist; da s ein Bogen ist. Muss ich das beachten? Wie?
Gruß
Wolfgang
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Fr 16.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie das Volumen einer Fläche um die y-Achse. Die
> Fläche zwischen f(x)= 2 [mm]\wurzel{x -1}[/mm] und der y-Achse im
> Intervall [2;4].
>
> Hinweis
> Für das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse
> gilt:
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{(f(x)^2) dx}[/mm]
> Moin,
>
> gefunden habe ich...
>
> Bei Rotation um die y-Achse muss ich 1. die Umkehrfunktion
> bilden und dann gilt:
>
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(y)^2) dy}.[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Also
>
> Umkehrfunktion bilden:
>
> y = [mm]\bruch{1}{4}*x^2[/mm] + 1
>
> [mm]y^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{16}x^4[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}*x^2[/mm] +1
Korrekt
>
> davon dann die Stammfunktion bilden und die Grenzen
>
> f(2)= 2
> f(4)= [mm]2*\wurzel{3}[/mm]
Auch korrekt
>
> einsetzen...
Yep, das ist noch zu tun
>
> Ist das richtig? Wäre das alles?
Yep
>
> Wenn ich mir den Rotationskörper betrachte, dann erhalte
> ich doch eine Art Kegelstumpf, der allerdings eingedellt
> ist; da s ein Bogen ist. Muss ich das beachten? Wie?
Beachte mal die Grenzen, die "Problemstelle" y=0 der Funktion [mm] 2\wurzel{x-1} [/mm] liegt ausserhalb des zu betrachtenden Intervalles, also stört ich nichts an der Berechnung des Integrales.
>
> Gruß
> Wolfgang
>
>
Marius
>
>
>
|
|
|
|
