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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Relationen hoch Tilde
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Relationen hoch Tilde: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Di 12.04.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Es wird definiert: $x [mm] \sim [/mm] y $ auf [mm] $\b{Z}$ [/mm]  als x-y durch 3 teilbar.

a) Man zeige, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
b) Man untersuche, ob [mm] $\tilde{\b{Z}}= \{\tilde{1}, \tilde{5}, \tilde{9} \}$ [/mm] in a)


Hallo,


a)

Reflexivität:  $x-x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 3|0 [mm] \Rightarrow x\sim [/mm] x$

Symmetrie: $x [mm] \sim [/mm] y = x-y [mm] \Rightarrow [/mm] 3| x-y [mm] \gdw [/mm] 3|y-x = y [mm] \sim [/mm] x$


Trans: [mm] $x\sim [/mm] y [mm] \wedge [/mm] y [mm] \sim [/mm] z [mm] \gdw [/mm] 3|x-y  [mm] \wedge [/mm] 3|y-z [mm] \Rightarrow [/mm] 3|y-x [mm] \Rightarrow [/mm] 3|x-z [mm] \gdw [/mm] x [mm] \sim [/mm] z$

Richtig so?

b) Was bedeutet [mm] $\b{Z}$ [/mm] hoch Tilde?



Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.



Danke und Gruss
kushkush

        
Bezug
Relationen hoch Tilde: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Di 12.04.2011
Autor: kamaleonti

Moin kushkush,
> Es wird definiert: [mm]x \sim y[/mm] auf [mm]\b{Z}[/mm]  als x-y durch 3
> teilbar.
>  
> a) Man zeige, dass es sich um eine Äquivalenzrelation
> handelt.
>  b) Man untersuche, ob [mm]\tilde{\b{Z}}= \{\tilde{1}, \tilde{5}, \tilde{9} \}[/mm]

ob was ...?

>  
> Hallo,
>  
>
> a)
>
> Reflexivität:  [mm]x-x=0 \Rightarrow 3|0 \Rightarrow x\sim x[/mm]
>  
> Symmetrie: [mm]x \sim y = x-y \Rightarrow 3| x-y \gdw 3|y-x = y \sim x[/mm]

Du meinst wohl das richtige. Aber was du mit x [mm] \sim [/mm] y = x-y meinst, verstehe ich nicht. Es soll wohl x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] 3|x-y heißen.

>  
>  
>
> Trans: [mm]x\sim y \wedge y \sim z \gdw 3|x-y \wedge 3|y-z \Rightarrow 3|y-x \Rightarrow 3|x-z \gdw x \sim z[/mm]

Das sollte noch deutlicher gemacht werden:
3|x-y [mm] \wedge [/mm] 3|y-z [mm] \Rightarrow [/mm] 3|(x-y)+(y-z) [mm] \gdw [/mm] 3|x-z [mm] \gdw x\sim [/mm] z

>  
> Richtig so?
>
> b) Was bedeutet [mm]\b{Z}[/mm] hoch Tilde?

Bitte vervollständige erstmal die Aufgabenstellung. ;-)

>
>
>
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
>  
>
>
> Danke und Gruss
>  kushkush

LG

Bezug
                
Bezug
Relationen hoch Tilde: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:00 Di 12.04.2011
Autor: kamaleonti


> Moin kushkush,
>  > Es wird definiert: [mm]x \sim y[/mm] auf [mm]\b{Z}[/mm]  als x-y durch 3

> > teilbar.
>  >  
> > a) Man zeige, dass es sich um eine Äquivalenzrelation
> > handelt.
>  >  b) Man untersuche, ob [mm]\tilde{\b{Z}}= \{\tilde{1}, \tilde{5}, \tilde{9} \}[/mm]
>  
> ob was ...?

Das fehlt wohl doch nichts.

>  >  
> > Hallo,
>  >  
> >
> > a)
> >
> > Reflexivität:  [mm]x-x=0 \Rightarrow 3|0 \Rightarrow x\sim x[/mm]
>  
> >  

> > Symmetrie: [mm]x \sim y = x-y \Rightarrow 3| x-y \gdw 3|y-x = y \sim x[/mm]
>  
> Du meinst wohl das richtige. Aber was du mit x [mm]\sim[/mm] y = x-y
> meinst, verstehe ich nicht. Es soll wohl x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm]
> 3|x-y heißen.
>  >  
> >  

> >
> > Trans: [mm]x\sim y \wedge y \sim z \gdw 3|x-y \wedge 3|y-z \Rightarrow 3|y-x \Rightarrow 3|x-z \gdw x \sim z[/mm]
>  
> Das sollte noch deutlicher gemacht werden:
>  3|x-y [mm]\wedge[/mm] 3|y-z [mm]\Rightarrow[/mm] 3|(x-y)+(y-z) [mm]\gdw[/mm] 3|x-z
> [mm]\gdw x\sim[/mm] z
>  >  
> > Richtig so?
> >
> > b) Was bedeutet [mm]\b{Z}[/mm] hoch Tilde?
> Bitte vervollständige erstmal die Aufgabenstellung.

Vermutlich handelt es sich dabei um die Menge der Äquivalenzklassen.
Dann wäre also zu zeigen, ob die angebenen Äquivalenzklassen alle sind

>  >

> >
> >
> > Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
>  >  
> >
> >
> > Danke und Gruss
>  >  kushkush
> LG

LG

Bezug
                
Bezug
Relationen hoch Tilde: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Di 12.04.2011
Autor: kushkush

Hallo kamaleonti,


> ob was...?

Es steht: "Man untersuche, ob [mm] $\tilde{\b{Z}}= \{\tilde{1}, \tilde{5}, \tilde{9} \}$ [/mm] in a) "

> Korrektur

Danke!



> LG

Gruss




kushkush

Bezug
                        
Bezug
Relationen hoch Tilde: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Di 12.04.2011
Autor: kamaleonti

Hallo kushkush,
> Hallo kamaleonti,
>  
>
> > ob was...?
>
> Es steht: "Man untersuche, ob [mm]\tilde{\b{Z}}= \{\tilde{1}, \tilde{5}, \tilde{9} \}[/mm]
> in a) "

Siehe Mitteilung.

>
> > Korrektur
>
> Danke!
>  
>
>
> > LG
>  Gruss
>  
>
>
>
> kushkush

LG

Bezug
                                
Bezug
Relationen hoch Tilde: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 Di 12.04.2011
Autor: kushkush

Hallo kamaleonti,


wenn man [mm] $\IZ \backslash \IZ_{3}$ [/mm] betrachtet, gibt es 3 Restklassenringe: $0~ mod~ 3,1~mod~3~ und ~2~mod~3 $

die dazugehörigen Äquivalenzklassen sind : [mm] $\left[0 \right]=\{-3...0,3,6,9..\}$, $\left[1 \right]=\{...-2,1,4,7,10... \}$,$\left[2 \right]= \{...,-1,2,5,8... \}$ [/mm]

und 9, 1 und 5 liegen da ja jeweils in einer Äquivalenzklasse drin, also ist die Antwort auf die Frage "ja".

Richtig?


> LG

Danke



Gruss
kushkush



Bezug
                                        
Bezug
Relationen hoch Tilde: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 Mi 13.04.2011
Autor: kamaleonti


> Hallo kamaleonti,
>
>
> wenn man [mm]\IZ \backslash \IZ_{3}[/mm] betrachtet, gibt es 3
> Restklassenringe: [mm]0~ mod~ 3,1~mod~3~ und ~2~mod~3[/mm]

?Du meinst wohl bzgl der Relation gibt es die drei Restklassen [0],[1],[2]

>  
> die dazugehörigen Äquivalenzklassen sind : [mm]\left[0 \right]=\{-3...0,3,6,9..\}[/mm],
> [mm]\left[1 \right]=\{...-2,1,4,7,10... \}[/mm],[mm]\left[2 \right]= \{...,-1,2,5,8... \}[/mm]
>  
> und 9, 1 und 5 liegen da ja jeweils in einer
> Äquivalenzklasse drin, also ist die Antwort auf die Frage
> "ja".

[ok]

>
> Richtig?
>
>
> > LG
>  
> Danke
>  
>
>
> Gruss
>  kushkush
>  
>  

LG

Bezug
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