Rekursionsformel Integral < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 So 21.10.2012 | | Autor: | matjaku |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie eine Rekursionsformel [mm] I_{n} =f(I_{n-1}) [/mm] zur Integralrechnung [mm] I_{n}=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+2} dx}. [/mm] |
Ich bin mir nicht so wirklich sicher, was ich genau machen soll. Wir hatten in der Vorlesung so etwas wie die Rechteckregel oder Mittelpunktsregel zur näherungsweisen Bestimmung des Integrals. Soll ich dies hierauf anwenden? Ich bin irgendwie grad recht ratlos...
Danke schon mal im Voraus für eure Antworten
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 So 21.10.2012 | | Autor: | hippias |
Berechne vielleicht ersteinmal die Integrale [mm] $I_{0}$, $I_{1}$ [/mm] und [mm] $I_{2}$. [/mm] Daraus wird sich bestimmt eine Gesetztmaesigkeit erkennen lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 So 21.10.2012 | | Autor: | matjaku |
Also für [mm] I_{0} [/mm] ergibt sich [mm] ln\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] I_{1}=1-2*ln \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] I_{2}=\bruch{-3}{2}+4*ln\bruch{3}{2}
[/mm]
Für den ln erkenne ich die Gesetzmäßigkeit, nämlich: [mm] (-1)^n*2^n*ln\bruch{3}{2} [/mm] aber es wird ja zusätzlich immer noch eine weitere Zahl addiert, bei [mm] I_{1} [/mm] ist es die 1 bei [mm] I_{2} [/mm] ist es [mm] \bruch{-3}{2} [/mm] und bei [mm] I_{3} [/mm] wäre es [mm] \bruch{10}{3}. [/mm] Irgendwie erkenne ich da keine Gesetzmäßigkeit, oder seh ich grad den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr?
Aber vielen Dank schon mal für die Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 So 21.10.2012 | | Autor: | hippias |
Es ist eine Rekursionsformel gesucht: Diese laesst sich meist finden, indem man hier [mm] $I_{n+1}$ [/mm] versucht durch [mm] $I_{n}$ [/mm] auszudrücken. Jedoch muss ich gestehen, dass es mir nicht so recht gelingen will. Dafuer kann ich eine explizite Formel fuer das Integral berechnen: Sei [mm] $n\geq [/mm] 1$. [mm] $I_{n}= \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{x+2} [/mm] dx= [mm] \int_{0}^{1}\frac{x^{n}-(-2)^{n}}{x+2}+ \int_{0}^{1}\frac{(-2)^{n}}{x+2} [/mm] dx$. Das zweite Integral ist $= [mm] (-2)^{n}ln(\frac{3}{2})$. [/mm] Fuer das erste benutze ich die geometrische Reihe [mm] $a^{n}-b^{n}= (a-b)\sum_{i=0}^{n-1} a^{i}b^{n-1-i}$. [/mm] Also [mm] $\int_{0}^{1}\frac{x^{n}-(-2)^{n}}{x+2}dx [/mm] = [mm] \int_{0}^{1}\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}(-2)^{n-1-i}dx= \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{i+1}(-2)^{n-1-i}= (-2)^{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(-2)^{i}i}$ [/mm] o.s.ae.
Vielleicht kannst Du damit eine rekursive Formel im nachhinein basteln.
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