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Reihen: Problem mit einer Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Fr 05.08.2005
Autor: real

Hallo Forum,

ich habe ein Problem mit folgender (eigentlich leichten?!) Aufgabe:
Ist die Reihe divergent, konvergent oder absolut konvergent

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^2}{n!} [/mm]

ich will das Ganze nun mit dem Quotientenkiterium lösen:

[mm] \bruch{\bruch{(n+2)^2}{(n+1)!}}{\bruch{(n+1)^2}{n!}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+2)^2 n!}{(n+1)! (n+1)^2} [/mm]

tja soweit so gut denke ich, aber was nun. Ich habe leider keine Ahnung was ich mit der Fakultät machen soll, weil die muss ja irgendwie weg denke ich?!

Hoffe es kann mir jemand helfen

Grüße
real

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Fr 05.08.2005
Autor: Marc

Hallo real,

[willkommenmr]

>  Ist die Reihe divergent, konvergent oder absolut
> konvergent
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)^2}{n!}[/mm]
>  
> ich will das Ganze nun mit dem Quotientenkiterium lösen:
>  
> [mm]\bruch{\bruch{(n+2)^2}{(n+1)!}}{\bruch{(n+1)^2}{n!}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+2)^2 n!}{(n+1)! (n+1)^2}[/mm]
>  
> tja soweit so gut denke ich, aber was nun. Ich habe leider
> keine Ahnung was ich mit der Fakultät machen soll, weil die
> muss ja irgendwie weg denke ich?!

Vielleicht hilft dir ja folgende Umformung im Nenner: [mm] $(n+1)!*(n+1)^2=n!*(n+1)*(n+1)^2=n!*(n+1)^3$ [/mm] :-)

Viele Grüße,
Marc



Bezug
                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 Fr 05.08.2005
Autor: real

Hallo,

ja das hilft mir natürlich sehr. Die Reihe ist also (nach noch ein bischen Rechnen) absolut konvergent.

[mm] n!\cdot(n+1)=(n+1)! [/mm]

auch auf die Gefahr hin mich lächerlich zu machen, aber wie kommt man
auf obigen Ausdruck? Gibt es irgendwo eine Zusammenfassung von Rechenregeln mit Fakultäten?

Danke
real

Bezug
                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Fr 05.08.2005
Autor: Marc

Hallo real,

> ja das hilft mir natürlich sehr. Die Reihe ist also (nach
> noch ein bischen Rechnen) absolut konvergent.

Ja, das würde ich auch sagen. Da der Quotient eine Nullfolge ist, sind fast alle Folgenglieder kleiner z.B. q=0,9, damit ist das MBQuotientientenkriterium erfüllt.
  

> [mm]n!\cdot(n+1)=(n+1)![/mm]
>  
> auch auf die Gefahr hin mich lächerlich zu machen, aber wie
> kommt man
> auf obigen Ausdruck? Gibt es irgendwo eine Zusammenfassung
> von Rechenregeln mit Fakultäten?

Bei Wikipedia wirst du sicher fündig, aber diese Rege ist auch schnell selbst hergeleitet:

[mm] $(n+1)!=(n+1)*\underbrace{n*(n-1)*(n-2)*\cdots*3*2*1}_{=n!}=(n+1)*n!$ [/mm]

Häufig wird die Fakultät auch direkt so definiert:

[mm] $n!=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n=0 \\ n*(n-1)!, & \mbox{für } n>0 \end{cases}$ [/mm]

Dies ist äquivalent zur alternativen Definition

[mm] $n!=\produkt_{k=1}^n k=1*2*3*\cdots*(n-1)*n$ [/mm]

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                
Bezug
Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 Fr 05.08.2005
Autor: real

Ist klar geworden. Danke für deine schnelle und ausführliche Antwort!

Gruß
real

Bezug
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