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| Aufgabe | [mm] a_n=b_n=\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}} [/mm] und [mm] c_n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^n a_{n-k}b_k
[/mm]
a) zeigen Sie, dass [mm] \summe a_n= \summe b_n [/mm] konvergiert
b) zeigen Sie, dass [mm] \summe c_n [/mm] divergiert. |
Hi,
bei der an denke ich muss man mit dem Leibniz-Kriterium arbeiten.
D.h. ich muss zeigen, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist und monoton fällt.
Monotonie sieht man ja sofort: [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+2}} \le \bruch{1}{\wurzel{n+1}}
[/mm]
Das der Grenzwert Null ist, kann ich jedoch nicht zeigen, denn [mm] \wurzel{n} [/mm] konvergiert doch gegen 1, heißt das nicht dass
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] ---> [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1?
Snafu
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Hallo,
> [mm]a_n=b_n=\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}}[/mm] und [mm]c_n[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^n a_{n-k}b_k[/mm]
>
> a) zeigen Sie, dass [mm]\summe a_n= \summe b_n[/mm] konvergiert
> b) zeigen Sie, dass [mm]\summe c_n[/mm] divergiert.
> Hi,
>
> bei der an denke ich muss man mit dem Leibniz-Kriterium
> arbeiten.
> D.h. ich muss zeigen, dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist und
> monoton fällt.
> Monotonie sieht man ja sofort: [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+2}} \le \bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm]
>
> Das der Grenzwert Null ist, kann ich jedoch nicht zeigen,
> denn [mm]\wurzel{n}[/mm] konvergiert doch gegen 1, heißt das nicht
Seit wann das denn? Kommt [mm] \wurzel{9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999} [/mm] denn annähernd in die Nähe von 1? Ich glaube nicht...
[mm] \wurzel{n} [/mm] divergiert. Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Was du wohl meinst ist: [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] , die konvergiert für n gegen unendlich gegen 1.
> dass
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] ---> [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1?
>
> Snafu
Viele Grüße
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Hi,
oh ja, habs wirklich mit der n-ten wurzel verwechselt.Ok, d.h. [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] ----> 0 , [mm] n-->\infty [/mm] weil [mm] \wurzel{n+1} [/mm] ---> [mm] \infty.
[/mm]
Damit hätte ich ja alles für das Leibnizkrit.
Somit habe ich gezeigt das [mm] \summe\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}} [/mm] konvergiert.
Snafu
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> Hi,
> oh ja, habs wirklich mit der n-ten wurzel verwechselt.Ok,
> d.h. [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}}[/mm] ----> 0 , [mm]n-->\infty[/mm] weil
> [mm]\wurzel{n+1}[/mm] ---> [mm]\infty.[/mm]
> Damit hätte ich ja alles für das Leibnizkrit.
> Somit habe ich gezeigt das
> [mm]\summe\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n+1}}[/mm] konvergiert.
Genau
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Hi,
bei der b) bin ich überfragt. Auf der einen Seite finde ich, ist es logisch das es divergiert, weil die Reihe [mm] a_n [/mm] rückwärts abläuft und somit nicht konvergieren kann. Aber wenn ich das Produkt der Folgen aufschreibe kommt:
[mm] \bruch{(-1)^{n-k}}{\wurzel{n-k+1}} \bruch{(-1)^k}{\wurzel{k+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{\wurzel{n-k+1}\wurzel{k+1}}. [/mm] Und das würde doch nach dem Leibnizkrit. konvergieren, bzw weiß ich nicht wie ich die beiden Variablen handhaben soll.
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 So 09.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Snafu,
> Hi,
> bei der b) bin ich überfragt. Auf der einen Seite finde
> ich, ist es logisch das es divergiert, weil die Reihe [mm]a_n[/mm]
> rückwärts abläuft und somit nicht konvergieren kann.
> Aber wenn ich das Produkt der Folgen aufschreibe kommt:
> [mm]\bruch{(-1)^{n-k}}{\wurzel{n-k+1}} \bruch{(-1)^k}{\wurzel{k+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{(-1)^n}{\wurzel{n-k+1}\wurzel{k+1}}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Und das
> würde doch nach dem Leibnizkrit. konvergieren, bzw weiß
> ich nicht wie ich die beiden Variablen handhaben soll.
Du hast nicht zu Ende gedacht. Wenn Du genau(er) liest, musst Du rechnen:
$$\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n (a_{n-k}b_k)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^n}{\sqrt{(n-k+1)(k+1)}}\blue{=}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(n-k+1)(k+1)}}\,.$$
Es geht hier also darum, etwas über die Reihe Folge
$$\left(\sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(n-k+1)(k+1)}}\right)_{n \in \IN_0}$$
herauszufinden. (Vielleicht hilft eine geeignete Abschätzung bzgl. der Summanden?)
P.S.:
$\bullet$ Bzgl. des blauen Gleichheitszeichen:
Bei
$$\sum_{k=0}^\infty (-1)^n x_k$$
kann man, da ja $k\,$ die Laufvariable bzgl. des Summenzeichens ist, natürlich die "konstante Zahl" $(-1)^n$ dann vorklammern:
$$\sum_{k=0}^\infty (-1)^n x_k=(-1)^n \sum_{k=0}^\infty x_k\,.$$
Daher gilt (mit $\sum_n:=\sum_{n=0}^\infty}, \sum_k :=\sum_{k=0}^{\red{n}}$)
$$\sum_{n} \sum_{k} (-1)^n x_k=\sum_n ((-1)^n*\sum_k x_k),$$
was ich oben angewendet habe.
$\bullet$
Tipp: Z.B. kann man abschätzen (für $\red{n}=9 \ge 2$):
$$\sum_{k=0}^{\red{9}} \frac{1}{(\sqrt{\red{9}-k+1)*(k+1)}}=\frac{1}{\sqrt{10*1}}+\frac{1}{\sqrt{9*2}}+\frac{1}{\sqrt{8*3}}+\frac{1}{\sqrt{7*4}}+\frac{1}{\sqrt{6*5}}+\frac{1}{\sqrt{5*6}}+\underbrace{\ldots+\frac{1}{\sqrt{1*9}}}_{\ge 0}$$
$$\ge (\lfloor \red{9}/2\rfloor+2)*\frac{1}{\sqrt{(\lfloor \red{9}/2\rfloor+2)^2}}=(\lfloor \red{9}/2\rfloor+2)*\frac{1}{\lfloor \red{9}/2\rfloor+2}=1.$$
Das ist quasi ein Wink mit dem Zaunpfahl 
Tipp zur letzten Abschätzung:
Für festes $n\,$ betrachte die Funktion $x \mapsto (n-x+1)*(x+1)$ und überlege Dir, wo diese Funktion ihr Maximum annimmt. Insbesondere bei ungeraden $n\,$ solltest Du Dir danach überlegen, wie es mit den Maximalstellen ist, wenn man diese Funktion auf $\IN_0$ einschränkt. Beachte:
Mithilfe der Maximalstelle(n) von $x \mapsto (n-x+1)*(x+1)$ kann man eine Aussage über die Minimalstelle(n) von $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{(n-x+1)*(x+1)}}$ (insbesondere, wenn man letztgenannte Funktion(en) auf eine gewisse Teilmenge von $\IN_0$ einschränkt) machen.
Beste Grüße,
Marcel
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