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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 So 03.01.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass für q [mm] \in \IR [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] q < 1 die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1)(k+2) [mm] q^{k} [/mm] konvergiert und berechnen sie ihren wert.
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Ich versh nicht ganz wie ich die konvergenz da ermittel soll wenn q eine variable ist.
Ich dachte er ich forme es um in : [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1)(k+2) [mm] (\bruch{1}{p})^{k} [/mm] , p [mm] \in \IR
[/mm]
Hätte jemand einen tipp für mich ?
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Fass das q mal als x auf und überlege, wovon jeder Summand nun die 2. Ableitung ist. Betrachte dann die dazu passende Summe der Ausgangsfunktionen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 So 03.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Ableitung ?
ich dachte eher an sowas :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1)(k+2) [mm] (\bruch{1}{p})^{k} [/mm] , p [mm] \in \IR
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1)(k+2) [mm] \bruch{1^{k}}{p^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k+1)(k+2) [mm] \bruch{1}{p^{k}}
[/mm]
Ich weiß ja dass [mm] \bruch{1}{p^{k}} [/mm] konvergiert aber die summen vorne stören mich,
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Beachte den Hinweis zu Cauchy-Produkten: Woran erinnert dich (n+1)(n+2)? Kannst du daraus irgendwie eine Summe machen und es in eine Form bringen, in der man ein Cauchy-Produkt erkennt? (So funktioniert es. Viel Erfolg.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 So 03.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Laut cauchy produkt ist das produkt 2er absolut konvergenter reihen ebenfalls konvergent. Es reicht sogar aus dass nur eine der konvergenten reihen absolut konvergent ist.
mein [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{p^{k}} [/mm] ist ja absolut konvergent
aber ich weiß nicht wie ich aus (k+1)(k+2) eine konvergente reihe hinbekomme.
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Nun ja. Ein Tipp: n(n+1)= [mm] 2*\summe_{k=1}^{n}k.
[/mm]
Dort kannst du [mm] q^{k} [/mm] reinziehen (ist schließlich für jedes k ein fester Wert) und ein wenig auseinanderziehen, so dass du ein Cauchy-Produkt hast.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:36 So 03.01.2010 | | Autor: | Ayame |
Tut mir echt leid aber ich häng immer noch fest :(
Ich seh ja die Summe/Reihe und seh auch dass sie funktioniert.
Aber ich hab ja meine aufzeichnungen mir angeguckt aber ich weiß leider nicht genau wie ich dass jetzt zusammenfassen soll (cauchy Produkt) und wie mir das bei der konvergenz helfen sollo. Denn die eine Summe ist doch gar nicht konvergnet oder ?
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> Tut mir echt leid aber ich häng immer noch fest :(
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> Ich seh ja die Summe/Reihe und seh auch dass sie
> funktioniert.
Hallo,
dem, was Du schreibst, kann ich schlecht entnehmen, wie Du Franz' Anregungen umgesetzt hast, und wie Du damit weitergearbeitet hast.
(Und ob Du überhaupt etwas getan hast.)
Was hast Du denn jetzt dastehen? Schreib' das doch von A-Z mal auf, am besten mit Begründungen für vorgenommene Umformungen.
> Aber ich hab ja meine aufzeichnungen mir angeguckt aber
> ich weiß leider nicht genau wie ich dass jetzt
> zusammenfassen soll (cauchy Produkt)
Wie sieht die Formel für das Cauchy-Produkt aus, wo erkennst Du Ähnlichkeiten zu dem, was bei Dir dasteht, und an welcher Stelle unterscheidet es sich?
Daß [mm] q^n=q^kq^{n-k}, [/mm] ist klar?
> und wie mir das bei
> der konvergenz helfen sollo. Denn die eine Summe ist doch
> gar nicht konvergnet oder ?
Ich weiß leider nicht, was bei Dir "die eine Summe" ist.
Also: alles schön aufschreiben, auch wenn's Mühe macht. Dann sieht man nämlich den Fortschritt und weiß, worüber gerade geredet werden soll.
Gruß v. Angela.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Mo 04.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Für 0 $ [mm] \le [/mm] $ q < 1 ist [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] (absolut) konvergent.
Berechne das Cauchyprodukt [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}c_n= (\summe_{k=0}^{\infty}q^k)*(\summe_{k=0}^{\infty}q^k)$
[/mm]
Dann berechne das Cauchyprodukt [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}c'_n= ($\summe_{k=0}^{\infty}c_n)*(\summe_{k=0}^{\infty}q^k)$
[/mm]
FRED
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Für [mm] x\in[0|1[ [/mm] ist
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}x^i=\bruch{1}{1-x}.
[/mm]
Leite links und rechts ab:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}i*x^{i-1}=(\bruch{1}{1-x})'.
[/mm]
Leite links und rechts nochmals ab:
[mm] \summe_{i=2}^{\infty}i*(i-1)x^{i-2}=(\bruch{1}{1-x})''.
[/mm]
Setze k=i-2:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+2)*(k+1)x^k=(\bruch{1}{1-x})''.
[/mm]
Bilde rechts wirklich die 2. Ableitung.
Setzt nun x=q.
Beweise, dass man das alles tun darf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mo 04.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Habe eine Frage dazu:
Da ja bei Konvergenz die Ableitung auch konvergiert und sogar Null wird und
[mm] (k+2)*(k+1)*q^{k} [/mm] die zweite Ableitung von [mm] q^{k+2} [/mm] ist, also das ganze quasi um den Index 2 verschoben ist und halt die zweite Ableitung darstellt, kann man dann einfach sagen, dass es darum konvergiert?
Aber es wären ja eigentlich die Summen der Ableitungen (Steigungen), kann man allgemein sagen, dass diese auch als Summe(!) konvergieren?
Danke
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Hallo qsxqsx,
> Hallo,
>
> Habe eine Frage dazu:
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> Da ja bei Konvergenz die Ableitung auch konvergiert und
> sogar Null wird und
> [mm](k+2)*(k+1)*q^{k}[/mm] die zweite Ableitung von [mm]q^{k+2}[/mm] ist,
> also das ganze quasi um den Index 2 verschoben ist und halt
> die zweite Ableitung darstellt, kann man dann einfach
> sagen, dass es darum konvergiert?
Hmm, diese Frage ist verwirrend ...
Es ist so, dass du eine Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzradius differenzieren darfst, und zwar gliedweise.
Die Potenzreihe, die du dabei erhältst, hat denselben Konvergenzradius wie die Ausgangspotenzreihe.
Das ganze Prozedere darfst du also auch 2mal machen.
Damit landest du bei obigem Ergebnis in HJKweseleits Antwort.
Der Rest ist nur eine Indexverschiebung, die du nach Belieben machen darfst, du änderst ja an der Summe nix.
>
> Aber es wären ja eigentlich die Summen der Ableitungen
> (Steigungen), kann man allgemein sagen, dass diese auch als
> Summe(!) konvergieren?
Die Frage verstehe ich wieder nicht ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
>
>
> Danke
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Mo 04.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke, du hast mir dir Frage bewantwortet!
Die Frage die du "wieder nicht verstehst" ist eigentlich dieselbe Frage gewesen, nur nochmals schlechter formuliert.
Ich versuche es nochmals: Wenn eine Potenzreihe gegen einen Grenzwert konvergiert, dann ist die Steigung im Bereich(ich meine hier nicht die Ableitung der ganzen Reihe) des Grenzwertes sicherlich 0. Also es kommt eine immer kleiner Steigung dazu.
Jetzt hab ich mich gefragt gegen was die Summe/Intergral dieser kleinen und weniger kleinen Steigungen konvergiert bzw. ob die überhaupt konvergieren - also einfach die Ableitung der ganzen Reihe.
Warum ich gefragt habe ist, damit ich in einer Klausur bei einer solchen Aufgabe einfach sagen kann, es konvergiert, weil es die Ableitung von sich selbst um Index 2 verschoben ist.
...ich hatte übrigens schon Potenzreihen... und eigentlich habe ich jetzt genug von denen...
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> Hallo,
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> Habe eine Frage dazu:
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> Da ja bei Konvergenz die Ableitung auch konvergiert und
> sogar Null wird und
> [mm](k+2)*(k+1)*q^{k}[/mm] die zweite Ableitung von [mm]q^{k+2}[/mm] ist,
> also das ganze quasi um den Index 2 verschoben ist und halt
> die zweite Ableitung darstellt, kann man dann einfach
> sagen, dass es darum konvergiert?
>
> Aber es wären ja eigentlich die Summen der Ableitungen
> (Steigungen), kann man allgemein sagen, dass diese auch als
> Summe(!) konvergieren?
>
>
Hallo,
das, was Du hier schreibst, klingt nicht so, als wären Potenzreihen bei Euch bereits behandelt worden.
Falls sie nicht behandelt wurden, kannst Du den Weg über die 2.Ableitung der geometrischen Reihe nicht gehen - falls Du wegen Deiner Hausübung fragst.
Gruß v. Angela
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Wenn man eine unendliche Summe von Ausdrücken mit x ableiten will, kann man ganz einfach alle Summanden ableiten und davon die Summe bilden (also die Summenregel anwenden), wenn die Summe gleichmäßig konvergiert.
Für die geometrische Reihe ist dies im Intervall [ -1 | 1 [ auf jeden Fall möglich, so dass die von mir angegebene Lösung stimmt.
Weil beim Ableiten die jeweils absoluten Glieder mit dem Index 0 (bzw. bei der 2. Ableitung dann 1) den Wert 0 geben, können sie wegfallen, wodurch man erst bei i=2 anzufangen braucht. Dieses "Geschenk" erlaubt dann die Umindizierung auf k=0, wobei man deine Ausgangsreihe erhält.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 07.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke,
jetzt hab ich aber nochmals eine Präzisere Frage: der Konvergenzradius bleibt gleich, wenn man die Potenzreihe im bereich ihres Konvergenzradiuses ableitet, richtig?
Der Grenzwert der Ableitung muss aber nicht unbedingt der selbe sein?!
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Hallo nochmal,
> Danke,
>
> jetzt hab ich aber nochmals eine Präzisere Frage: der
> Konvergenzradius bleibt gleich, wenn man die Potenzreihe im
> bereich ihres Konvergenzradiuses ableitet, richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Der Grenzwert der Ableitung muss aber nicht unbedingt der
> selbe sein?!
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 So 03.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeigen sie, dass für q [mm]\in \IR[/mm] mit 0 [mm]\le[/mm] q < 1 die Reihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (k+1)(k+2) [mm]q^{k}[/mm] konvergiert und
> berechnen sie ihren wert.
>
> Ich versh nicht ganz wie ich die konvergenz da ermittel
> soll wenn q eine variable ist.
> Ich dachte er ich forme es um in : [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm]
> (k+1)(k+2) [mm](\bruch{1}{p})^{k}[/mm] , p [mm]\in \IR[/mm]
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> Hätte jemand einen tipp für mich ?
Hallo,
für genügend große k dürfte das Quotientenkriterium erfüllt sein.
Gruß Abakus
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