Raum beschränkter+stetiger Fkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Fr 08.08.2014 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | U [mm] \subseteq \IR^{n} [/mm] eine Menge und X die Menge aller beschränkter und stetiger Funktionen (von U nach [mm] \IR^{m}) [/mm] mit der Supremumsnorm:
[mm] sup_{x \in U} [/mm] |f(x)-g(x)|
Behauptung: Dies ist ein vollständig normieter Vektorraum |
Ich kenne den Beweis hierzu.
Ich verstehe den Beweisschritt nicht in dem gezeigt wird, dass eine Cauchyfolge bezüglich dieser Norm gleichmäßig konvergiert.
Dieser Raum sei hier mit [mm] C(U,R^m) [/mm] bezeichnet.
Der erste Schritt hierbei ist klar, man zeigt:
Falls [mm] (f_{n}) [/mm] eine CF ist, dann konvegiert [mm] (f_{n}(x)) [/mm] für ein festes x gegen ein f(x) (Dies ist so wegen der vollständigkeit des [mm] \IR^{m}) [/mm]
Bis hier hin sehe ich das ein. Nun kommt dieser Beweisschritt:
Für eine CF gilt außerdem:
[mm] sup_{x \in U} |f_{k}(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon [/mm] Für k, n > N
Dann gilt für alle x in U:
[mm] |f_{k}(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon
[/mm]
Und nun wird argumentiert: Mit Grenzübergang n-> [mm] \infty [/mm] folgt:
[mm] |f_{k}(x)-f(x)| \le \varepsilon
[/mm]
Was gleichmäßige konvergenz impliziert und die Behauptung ergibt.
Ich verstehe dabei nicht, wieso man einfach n gegen unendlich laufen lassen kann. Das Problem ist doch, das man hier ein beliebiges x betrachtet, wieso können wir hier einen Grenzübergang durchführen, wo wir doch nur wissen, das [mm] f_n [/mm] punktweise konvergiert.
Ich bin der Meinung man kann lediglich für ein festes x den Grenzübergang (durch wahl eines hinreichend großen Indexes) durchführen und damit zeigen, das die Ungleichung ab hinreichend großem n erfüllt wird. (Dies wäre aber dann wieder nur die punktweise konvergenz...)
Vielen Dank für eure Hinweise!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Fr 08.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> U [mm]\subseteq \IR^{n}[/mm] eine Menge und X die Menge aller
> beschränkter und stetiger Funktionen (von U nach [mm]\IR^{m})[/mm]
> mit der Supremumsnorm:
> [mm]sup_{x \in U}[/mm] |f(x)-g(x)|
> Behauptung: Dies ist ein vollständig normieter
> Vektorraum
> Ich kenne den Beweis hierzu.
> Ich verstehe den Beweisschritt nicht in dem gezeigt wird,
> dass eine Cauchyfolge bezüglich dieser Norm gleichmäßig
> konvergiert.
>
> Dieser Raum sei hier mit [mm]C(U,R^m)[/mm] bezeichnet.
> Der erste Schritt hierbei ist klar, man zeigt:
> Falls [mm](f_{n})[/mm] eine CF ist, dann konvegiert [mm](f_{n}(x))[/mm]
> für ein festes x gegen ein f(x) (Dies ist so wegen der
> vollständigkeit des [mm]\IR^{m})[/mm]
> Bis hier hin sehe ich das ein. Nun kommt dieser
> Beweisschritt:
> Für eine CF gilt außerdem:
> [mm]sup_{x \in U} |f_{k}(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon[/mm] Für k, n >
> N
> Dann gilt für alle x in U:
> [mm]|f_{k}(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon[/mm]
> Und nun wird argumentiert: Mit Grenzübergang n-> [mm]\infty[/mm]
> folgt:
> [mm]|f_{k}(x)-f(x)| \le \varepsilon[/mm]
> Was gleichmäßige
> konvergenz impliziert und die Behauptung ergibt.
> Ich verstehe dabei nicht, wieso man einfach n gegen
> unendlich laufen lassen kann. Das Problem ist doch, das man
> hier ein beliebiges x betrachtet, wieso können wir hier
> einen Grenzübergang durchführen, wo wir doch nur wissen,
> das [mm]f_n[/mm] punktweise konvergiert.
> Ich bin der Meinung man kann lediglich für ein festes x
> den Grenzübergang (durch wahl eines hinreichend großen
> Indexes) durchführen und damit zeigen, das die Ungleichung
> ab hinreichend großem n erfüllt wird. (Dies wäre aber
> dann wieder nur die punktweise konvergenz...)
>
> Vielen Dank für eure Hinweise!
>
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
$ [mm] sup_{x \in U} |f_{k}(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon [/mm] $ für alle k, n > N .
Also haben wir
(1) [mm] |f_{k}(x)-f_{n}(x)| <\varepsilon [/mm] für alle k,n > N und alle x [mm] \in [/mm] U.
Nun sei x [mm] \in [/mm] U zunächst fest. Wegen der punktweisen Konvergenz von [mm] (f_n) [/mm] gegen f folgt: [mm] f_n(x) \to [/mm] f(x) für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Aus (1) folgt dann:
(2) [mm] |f_{k}(x)-f(x)| \le \varepsilon [/mm] für alle k > N .
Weil x [mm] \in [/mm] U beliebig war, gilt (2) für alle x [mm] \in [/mm] U, also
(3) [mm] |f_{k}(x)-f(x)| \le \varepsilon [/mm] für alle k > N und alle x [mm] \in [/mm] U.
Fazit: zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] >0 habe wir einen Index N [mm] \in \IN [/mm] gefunden mit der Eigenschaft (3).
Das bedeutet: [mm] (f_n) [/mm] konvergiert auf U gleichmäßig gegen f.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Fr 08.08.2014 | | Autor: | havoc1 |
Danke für diese ausführliche Erklärung mir ist das jetzt klar.
Auf den ersten Blick wirkte die Sache für mich wie ein Beweis bei dem man aus pktweiser Konvergenz gleichmäßige folgert (was natürlich blödsinn ist).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Fr 08.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für diese ausführliche Erklärung mir ist das jetzt
> klar.
> Auf den ersten Blick wirkte die Sache für mich wie ein
> Beweis bei dem man aus pktweiser Konvergenz gleichmäßige
> folgert (was natürlich blödsinn ist).
Das wurde ja auch getan, allerdings unter der (starken) Vor. , dass [mm] (f_n) [/mm] eine Cauchyfolge bezüglich der Supremumsnorm ist.
FRED
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