Randwertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Mo 13.08.2018 | | Autor: | Megan33 |
| Aufgabe | Für welche Zahlen r Element R besitzt das Randwertploblem reele Lösungen ?
4y''+y= r*sin(x/2)
y(0) = 0, y(2pi) = 1
Falls die rechte Seite auch Lösung der homogenen DGL yh(x) = [mm] c_1*sin(ax)+c_2cos(ax)
[/mm]
ist (dies nennt man Resonanzfall ,so lautet der Ansatz vom Typ der rechten Seite
yp(x) = Ax*sin(ax) +Bx*cos(ax)
charakteristische Polynom:
[mm] 4lambda^2 [/mm] +1 = 0
[mm] lambda _12 = +- \wurzel{ - \bruch{1}{4} } [/mm]
Die homogene Lösung wäre doch dann:
yh(x) = [mm] c_1*sin(ax)+c_2cos(ax)
[/mm]
Richtig? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Ja, und zwar mit [mm] a=\bruch{1}{2}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mo 13.08.2018 | | Autor: | Megan33 |
Was meinst du mit a =1/2?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Mo 13.08.2018 | | Autor: | chrisno |
> Was meinst du mit a =1/2?
Vorher hast Du geschrieben:
> Die homogene Lösung wäre doch dann:
> yh(x) = $ [mm] c_1\cdot{}sin(ax)+c_2cos(ax) [/mm] $
Da hast Du das a.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 13.08.2018 | | Autor: | Megan33 |
Ja aber wie kommt ihr so schnell auf 1/2 ?
Soll ich den partikulären Ansatz:
yp = A*sin(x)+B*cos(x)
nehmen 2 mal ableiten und dann in Ursprungsgleichung einsetzen ?
Ist das die Vorgehensweise ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Mo 13.08.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ja aber wie kommt ihr so schnell auf 1/2 ?
das zur homogenen Gleichung geh. Charakter. Polynom hat doch die Nullstellen [mm] \pm [/mm] i/2
>
> Soll ich den partikulären Ansatz:
>
> yp = A*sin(x)+B*cos(x)
>
> nehmen 2 mal ableiten und dann in Ursprungsgleichung
> einsetzen ?
ja
> Ist das die Vorgehensweise ?
ja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 13.08.2018 | | Autor: | Megan33 |
yp = Ax*cos(1/2*x) +Bx*sin(1/2*x)
Meine Ableitungen sind alle im Foto .
Die 2 Ableitung scheint nach der Ableitungsseite nicht zu stimmen ,aber ich erkenne den Fehler in der 2 Ableitung nicht ?
Kann mir jemand bitte helfen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Megan!
Du hast bei der 2. Ableitung bei den Termen [mm] $\sin\left(\tfrac{1}{2}*x\right)$ [/mm] bzw. [mm] $\cos\left(\tfrac{1}{2}*x\right)$ [/mm] jeweils die innere Ableitung [mm] $\tfrac{1}{2}$ [/mm] als Faktor vergessen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Di 14.08.2018 | | Autor: | Megan33 |
[mm] y_p'' [/mm] = A*1/2*cos(1/2*x) +A*1/2 *cos(1/2*x) - Ax*1/4 *sin(1/2*x) - B*1/2 *sin(1/2*x) -B*1/2*sin(1/2*x)- Bx *1/4 *cos(1/2*x)
Jetzt passt die ABleitung?
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Hallo, die Ableitungen sind ok, Du kannst aber noch einige Summanden zusammenfassen, 1. und 2. Summand, 4. und 5. Summand, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 14.08.2018 | | Autor: | Megan33 |
Gut rechnen wir es mal direkt im Board:
[mm] 4y''+y= r*sin(x/2)[/mm]
[mm] 4*(A*cos(1/2x) -Ax*1/4 *sin(1/2x) -B*sin(1/2x)-Bx*1/4*cos(1/2x))+Ax*sin(1/2x)+Bx*cos(1/2*x)=r*sin(x/2)[/mm]
[mm] cos(1/2x)*( 4A)+x*sin(1/2x)*(A-A+A) +x*cos(1/2*x)*(-B+B)-4Bsin(1/2*x)= r*sin(x/2)[/mm]
[mm] cos(1/2x)*( 4A)+x*sin(1/2x)*(+A) +x*cos(1/2*x)*(0)-4Bsin(1/2*x)= r*sin(x/2)[/mm]Boah wie geht es weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mi 15.08.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast ungeschickt zusammengefasst: schreibe sin(x/2)*(...)+ cos(x/2)*(...)
dann Klammer bei sin mus =r sein, Klammer bei cos =0
gruß ledum
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